Fonctions circulaires/Fonction cosinus

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Fonction cosinus

Définition

• Soit $\alpha$ un nombre réel.

  Son cosinus est le cosinus de l'unique angle dont $\alpha$ est une mesure. Il est noté $\cos(\alpha )$. Il est égal à la distance entre le centre du cercle trigonométrique et la projection du point situé sur le cercle, correspondant à l'angle $\alpha$. Cette projection est orthogonale au diamètre horizontal du cercle trigonométrique.

• La fonction qui à tout nombre réel $\alpha$ associe son cosinus est appelée fonction cosinus, et est notée cos.

Représentation graphique

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction cosinus sur $\left[-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]$.

Cette courbe est une sinusoïde.

Périodicité

Définition

Une fonction périodique de période $P$ est telle que :

Pour tout $x$ :

$f(x+P)=f(x)$

Interprétation graphique : La courbe représentative d'une fonction périodique de période $P$ est invariante par translation de vecteur $P{\vec {x}}$ sur l'ensemble de définition de cette fonction.

Propriété

La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$, c'est-à-dire :

Pour tout réel x ,

$\cos(x+2\pi )=\cos(x)$

Parité

Propriété

La fonction cosinus est paire, c'est-à-dire :

$\cos(-x)=\cos x$.

Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Valeurs remarquables du cosinus des angles usuels

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle \pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -1$