Le cas
a
=
0
{\displaystyle a=0}
étant immédiat, supposons désormais
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
.
La fonction
f
{\displaystyle f}
est définie sur
D
=
]
−
∞
,
1
/
a
[
∪
]
1
/
a
,
+
∞
[
{\displaystyle D=\left]-\infty ,1/a\right[\cup \left]1/a,+\infty \right[}
, et dérivable :
f
′
(
x
)
=
(
(
a
+
x
1
−
a
x
)
′
1
+
(
a
+
x
1
−
a
x
)
2
)
−
1
1
+
x
2
=
(
1
−
a
x
−
(
a
+
x
)
(
−
a
)
(
1
−
a
x
)
2
(
1
−
a
x
)
2
+
(
a
+
x
)
2
(
1
−
a
x
)
2
)
−
1
1
+
x
2
=
1
+
a
2
(
1
−
a
x
)
2
+
(
a
+
x
)
2
−
1
1
+
x
2
=
(
1
+
a
2
)
(
1
+
x
2
)
−
(
1
−
a
x
)
2
−
(
a
+
x
)
2
(
1
+
x
2
)
(
(
1
−
a
x
)
2
+
(
a
+
x
)
2
)
=
(
1
+
a
2
)
(
1
+
x
2
)
−
(
1
−
a
x
)
2
−
(
a
+
x
)
2
(
1
+
x
2
)
(
(
1
−
a
x
)
2
+
(
a
+
x
)
2
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\left({\frac {\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)'}{1+\left({\frac {a+x}{1-ax}}\right)^{2}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&=\left({\frac {\frac {1-ax-(a+x)(-a)}{(1-ax)^{2}}}{\frac {(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}{(1-ax)^{2}}}}\right)-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {1+a^{2}}{(1-ax)^{2}+(a+x)^{2}}}-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&={\frac {(1+a^{2})(1+x^{2})-(1-ax)^{2}-(a+x)^{2}}{(1+x^{2})\left((1-ax)^{2}+(a+x)^{2}\right)}}\\&=0.\end{aligned}}}
La fonction
f
{\displaystyle f}
est donc constante sur chacune des deux demi-droites (
a
x
<
1
{\displaystyle ax<1}
,
a
x
>
1
{\displaystyle ax>1}
) dont
D
{\displaystyle D}
est la réunion.
On en déduit que pour tout
b
{\displaystyle b}
tel que
a
b
<
1
{\displaystyle ab<1}
,
f
(
b
)
=
f
(
0
)
=
arctan
a
{\displaystyle f(b)=f(0)=\arctan a}
, ce qui prouve l'égalité annoncée.
Par passage à la limite quand
x
{\displaystyle x}
tend vers l'une des deux bornes (au choix) de la demi-droite
a
x
<
1
{\displaystyle ax<1}
, on en déduit également :
arctan
a
+
arctan
1
a
=
{
π
2
si
a
>
0
−
π
2
si
a
<
0.
{\displaystyle \arctan a+\arctan {\frac {1}{a}}={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}a<0.\end{cases}}}
Puis, lorsque
a
b
>
1
{\displaystyle ab>1}
, on obtient de même (en calculant, en l'une des deux extrémités au choix, la valeur constante de
f
{\displaystyle f}
sur l'autre demi-droite,
a
x
>
1
{\displaystyle ax>1}
) :
arctan
a
+
arctan
b
=
arctan
a
+
b
1
−
a
b
+
{
+
π
si
a
>
0
−
π
si
a
<
0.
{\displaystyle \arctan a+\arctan b=\arctan {\frac {a+b}{1-ab}}+{\begin{cases}+\pi &{\text{si }}a>0\\-\pi &{\text{si }}a<0.\end{cases}}}
Remarque
Les formules pour
a
b
≠
1
{\displaystyle ab\neq 1}
ont été démontrées en cours par une méthode bien plus directe, qui permet aussi de démontrer la formule pour
a
b
=
1
{\displaystyle ab=1}
.