Fonctions circulaires réciproques/Exercices/Fonction arccos
Exercice 3-1Modifier
On considère la fonction définie par
- Quel est son domaine de définition ?
- Calculer .
- Donner le développement limité à l'ordre 1 de en .
Solution
- La fonction , de dérivée , est croissante sur et sur . Sa limite en est , et elle prend la valeur en . Le domaine sur lequel elle est comprise entre et est donc .
- Pour tout , .
- .
Exercice 3-2Modifier
Soit fixé.
- Donner le domaine de définition de la fonction définie par .
- Montrer que est strictement monotone sur .
- Montrer que admet une fonction réciproque , de domaine de définition à préciser.
- Pour , expliciter .
- Vérifier sur cet exemple la formule de la dérivée d'une bijection réciproque.
Solution
- donc .
- ( est continue en 0 et) .
- .
- Soit , donc .
- Pour tout et , .
Exercice 3-3Modifier
- Calculer et pour .
- Calculer .
Solution
- Soient : , et donc donc .
De plus, , donc . - Soit : et donc avec .
, .
Vérification des recollements aux bornes : si alors ; si alors .