Fonctions circulaires réciproques/Fonction arccos
La fonction cosinus est une surjection de vers . Elle devient bijective si l’on ne considèrent que les angles compris dans un intervalle de la forme , car sa restriction à un tel intervalle est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple, , et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [k\pi ,(k+1)\pi ],\ k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f52a671bb25375b26345062cbf45f4f3fdb4cac)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
La fonction arc cosinusModifier
On appelle arccosinus, et l'on note , la bijection de dans qui,
à tout réel , associe l'unique réel tel que .
![{\displaystyle x\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9d0dda56ce3e01e14570ac9aef0021c6125722)
![{\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c833964ea08aa30df8b6f56664461a5499b38144)
Autrement dit :
![{\displaystyle \arccos x=\theta \Leftrightarrow x=\cos \theta \quad {\text{et}}\quad \theta \in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffed4dca80925f377db2fa2b9060cff008940587)
- et donc .
- mais ( ).
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e16c47870cc4c872174dbd1dae27db55216d3b)
![{\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}\notin [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d242660059c8cda54015fecbcd6b9b2266642d6)
La courbe représentative de se déduit de celle de la fonction cosinus (restreinte à ) par symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.
- .
- et .
![{\displaystyle \forall \theta \in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos \theta )=\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85df190798ef2bc35daea4782b4fdeed2223b691)
![{\displaystyle \forall x\in \left[-1,1\right]\quad \cos(\arccos x)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa90aa8597a1c31b0e5f70e90f5f88a8f1944be)
VariationsModifier
Puisque est continue et strictement décroissante sur , on a :
La fonction est continue et strictement décroissante sur .
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DérivéeModifier
La fonction est dérivable sur et
![{\displaystyle \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21598ebd71c6365a4d8206ee2ae7133b1d3d3be4)
![{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e27a0715753b3efa4f3810e5207af6543dbb338)
Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections et .
![{\displaystyle f=\cos :\left]0,\pi \right[\to \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9fac97e7df439cb91ea851fd3b1576236fa584)
![{\displaystyle f^{-1}=\arccos :\left]-1,1\right[\to \left]0,\pi \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a97669b84531df46ac34abd1d08eee26fcf589c)
Puisques:
- ,
![{\displaystyle \forall \theta \in \left]0,\pi \right[\quad \cos '\theta =-\sin \theta \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a200cb8fd3e53c61e4306ce2209ddc8a884b265)
la fonction est dérivable sur et
![{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arccos '(x)={\frac {1}{-\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{-{\sqrt {1-x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808fafa67f75b7c10af29276ad14ac2270c461df)
