Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin
La fonction sinus est une surjection de vers . Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme , car sa restriction à est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple (), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :
La fonction arc sinusModifier
On appelle arcsinus, et l'on note , la bijection de dans qui,
à tout réel , associe l'unique réel tel que .
Autrement dit :
La courbe représentative de se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à ) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :
VariationsModifier
Puisque est continue et strictement croissante sur , on a :
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DérivéeModifier
Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections et .
Puisque
- ,
la fonction est dérivable sur et
De plus, et donc
- ,
ce qui se traduit par