La fonction sinus est une surjection de vers . Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme , car sa restriction à est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple (), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions circulaires réciproques : Fonction arcsin Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On appelle arcsinus, et l'on note , la bijection de dans qui,
à tout réel , associe l'unique réel tel que
Autrement dit :
La courbe représentative de se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à ) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle I_{k}:=\left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right],\ k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d470bf48345c746dcc1518a623f4737184b249bd)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle x\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9d0dda56ce3e01e14570ac9aef0021c6125722)
![{\displaystyle \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37379d6d2ae40957075275ffc4d58cc9a72be711)
![{\displaystyle \arcsin(x)=\theta \Leftrightarrow x=\sin(\theta )\quad {\text{et}}\quad \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5bb49de2b98ac0609df82d5bf89a1a4975370a)
![{\displaystyle \forall \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin(\theta ))=\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d923d05536d4590ee6cec585f47893e8e3498bb1)
![{\displaystyle \forall x\in \left[-1,1\right]\quad \sin(\arcsin(x))=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87316d72e04f0c9511eada1d6506702de256de9)
![{\displaystyle \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21598ebd71c6365a4d8206ee2ae7133b1d3d3be4)
![{\displaystyle \forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f32a3912e110f0a85a55a608bce979f6f1560f0)
