Fonctions circulaires réciproques/Fonction arcsin

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La fonction sinus est une surjection de $\mathbb {R}$ vers $[-1,1]$. Elle devient bijective si l'on ne considère que les angles compris dans un intervalle de la forme $I_{k}:=\left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right],\ k\in \mathbb {Z}$, car sa restriction à $I_{k}$ est strictement monotone donc injective. On choisit l'intervalle le plus simple ($I_{0}$), et l'on peut alors définir l'application réciproque de cette fonction :

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La fonction arc sinus

Définition

On appelle arcsinus, et l'on note $\arcsin$, la bijection de $[-1,1]$ dans $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ qui,

à tout réel $x\in [-1,1]$, associe l'unique réel $\theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ tel que $\sin \theta =x$.

Autrement dit :

$\arcsin x=\theta \Leftrightarrow x=\sin \theta \quad {\text{et}}\quad \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Début de l'exemple

Exemples

• $\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ et ${\frac {\pi }{3}}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ donc $\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\pi }{3}}$.
• $\sin {\frac {2\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ mais $\arcsin {\frac {\sqrt {3}}{2}}\neq {\frac {2\pi }{3}}$ (${\frac {2\pi }{3}}\notin \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$).

Fin de l'exemple

La courbe représentative de $\arcsin$ se déduit de celle de la fonction sinus (restreinte à $I_{0}$) par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère :

Courbe représentative de $\arcsin$.

Remarques

• $\forall \theta \in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin \theta )=\theta$.
• $\forall x\in \left[-1,1\right]\quad \sin(\arcsin x)=x$.

Variations

Puisque $\sin$ est continue et strictement croissante sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$, on a :

Propriété

La fonction $\arcsin$ est continue et strictement croissante sur $[-1,1]$.

Tableau de variation

$x$	$-1$ $+1$
$\arcsin x$	$+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$

Dérivée

Début d’un théorème

Théorème

La fonction $\arcsin$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

$\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections $f=\sin :\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\to \left]-1,1\right[$ et $f^{-1}=\arcsin :\left]-1,1\right[\to \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Puisque

$\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \sin '\theta =\cos \theta \neq 0$,

la fonction $\arcsin$ est dérivable sur $\left]-1,1\right[$ et

$\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \arcsin '(x)={\frac {1}{\cos(\arcsin x)}}$.

De plus, $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$ et $\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta >0$ donc

$\forall \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \cos \theta =+{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$,

ce qui se traduit par

$\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$.