Fonctions d'une variable complexe/Fonctions holomorphes

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Fonctions holomorphes
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Chapitre no 1
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
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Fonction holomorphe et dérivéeModifier


Celà revient à demander à ce que l’application réelle sous-jacente  , définie par :  , soit de classe   et que sa dérivée soit  -linéaire.

Équation de Cauchy-RiemannModifier

Soient   et  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque :   représente l'opérateur de dérivation partielle par rapport à la première variable, parfois noté  .

L'équation de Cauchy-Riemann fournit ainsi une condition nécessaire (voir plus bas) et suffisante d'holomorphie sur un ouvert.

L'équation de Cauchy-Riemann peut aussi s'écrire sous la forme d'un système de deux équations aux dérivées partielles réelles :

 

On obtient alors :

 ,

ce qui donne le système :

 

Dérivées des fonctions holomorphesModifier

Les règles de dérivation des fonctions réelles s'appliquent aussi aux fonctions holomorphes.

ExemplesModifier

  • La fonction constante   est holomorphe de dérivée nulle.
  • Les monômes sont des fonctions holomorphes sur  , et on a   pour tout  .
  •   et   sont définies holomorphes sur   et les règles de dérivations usuelles dans   s'étendent. Ainsi, on a :  ,  .
  • De même pour l'exponentielle :  .
  • La fonction   est holomorphe sur   et l'on a  .

Propriétés des fonctions holomorphesModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple