Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe

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Le logarithme complexe
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Fonctions holomorphes
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L'exponentielle complexeModifier

Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.


  Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans   puisque  .

Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans   comme un logarithme dans  

Fonctions hyperboliquesModifier

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à   :

 

 

Propriétés de l'exponentielle complexeModifier

  :

  •   ;
  •   ;
  •  .

La fonction « argument » : ArgModifier

Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo   et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.

Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :


On constate que cette fonction Arg(z) n’est pas prolongeable continument aux  , car si elle était définie sur  , on aurait un saut de   et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.

On appelle cette fonction détermination principale de l'argument.

Le logarithme complexeModifier


Alors,   est holomorphe sur  .

Dérivées partielles du logarithme complexeModifier

On note  , pour  , on a :

  •   ;
  •  .

Ainsi   est holomorphe, puisque :

 .

La dérivée de   se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

 ,

ce qui donne :

 .

Puissance généraliséeModifier