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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonctions d'une variable complexe : Le logarithme complexe Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Avant de définir le logarithme complexe, rappelons la définition de l'exponentielle complexe par une série entière de rayon de convergence infini.
Définition de l'exponentielle complexe
L'exponentielle complexe est définie par :
∀
z
∈
C
exp
(
z
)
=
e
z
=
∑
m
=
0
∞
z
m
m
!
{\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \quad \exp(z)=\operatorname {e} ^{z}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {z^{m}}{m!}}}
et holomorphe sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Contrairement à l'exponentielle réelle l'exponentielle complexe n’est pas injective dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
puisque
∀
k
∈
Z
e
z
=
e
z
+
2
k
i
π
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} \quad \operatorname {e} ^{z}=\operatorname {e} ^{z+2k\mathrm {i} \pi }}
.
Par conséquent on ne peut définir un logarithme dans
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
comme un logarithme dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
:
cosh
z
=
e
z
+
e
−
z
2
,
cos
z
=
e
z
i
+
e
−
z
i
2
=
cosh
(
i
z
)
{\displaystyle \cosh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}+\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \cos z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }+\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2}}=\cosh(\mathrm {i} z)}
sinh
z
=
e
z
−
e
−
z
2
,
sin
z
=
e
z
i
−
e
−
z
i
2
i
=
sinh
(
i
z
)
i
{\displaystyle \sinh z={\frac {\operatorname {e} ^{z}-\operatorname {e} ^{-z}}{2}},\quad \sin z={\frac {\operatorname {e} ^{z\mathrm {i} }-\operatorname {e} ^{-z\mathrm {i} }}{2\mathrm {i} }}={\frac {\sinh(\mathrm {i} z)}{\mathrm {i} }}}
Propriétés de l'exponentielle complexe
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Pour des raisons purement géométriques, l'argument d'un nombre complexe n'est jamais défini que modulo
2
π
{\displaystyle 2\pi }
et on ne peut définir de façon naturelle de fonction argument à valeurs réelles.
Ici, on se fixera un choix de l'argument, de sorte que l’on ait les propriétés suivantes :
Définition de la fonction argument
∀
z
=
x
+
i
y
∈
C
∖
R
−
{\displaystyle \forall \;z=x+\mathrm {i} y\;\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}}
on a :
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
arctan
(
y
x
)
si
x
>
0
,
arctan
(
y
x
)
+
π
si
x
<
0
et
y
>
0
,
arctan
(
y
x
)
−
π
si
x
<
0
et
y
<
0
,
+
π
2
si
x
=
0
et
y
>
0
,
−
π
2
si
x
=
0
et
y
<
0.
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+\mathrm {i} y)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{si }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{si }}x<0{\text{ et }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{si }}x=0{\text{ et }}y<0.\end{cases}}}
On constate que cette fonction Arg(z ) n’est pas prolongeable continument aux
z
∈
]
−
∞
,
0
[
{\displaystyle z\in \left]-\infty ,0\right[}
, car si elle était définie sur
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}
, on aurait un saut de
2
π
{\displaystyle 2\pi }
et elle serait alors discontinue sur son ouvert de définition.
On appelle cette fonction détermination principale de l'argument .
Définition du logarithme complexe
Alors,
L
o
g
{\displaystyle \mathrm {Log} }
est holomorphe sur
Ω
{\displaystyle \Omega }
.
Dérivées partielles du logarithme complexe
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On note
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+y\mathrm {i} }
, pour
z
∈
Ω
{\displaystyle z\in \Omega }
, on a :
D
x
Log
(
z
)
=
D
x
(
ln
(
x
2
+
y
2
)
+
i
D
x
(
Arg
(
x
+
y
i
)
)
=
x
x
2
+
y
2
+
i
−
y
x
2
+
y
2
=
x
−
y
i
x
2
+
y
2
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{x}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{x}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}}
;
D
y
Log
(
z
)
=
D
y
(
ln
(
x
2
+
y
2
)
+
i
D
y
(
Arg
(
x
+
y
i
)
)
=
y
x
2
+
y
2
+
i
x
x
2
+
y
2
=
y
+
x
i
x
2
+
y
2
{\displaystyle \mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{y}(\ln({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}(\operatorname {Arg} (x+y\mathrm {i} ))={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}}
.
Ainsi
Log
{\displaystyle \operatorname {Log} }
est holomorphe, puisque :
D
x
Log
(
z
)
+
i
D
y
Log
(
z
)
=
x
−
y
i
x
2
+
y
2
+
i
y
+
x
i
x
2
+
y
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)+\mathrm {i} \mathrm {D} _{y}\operatorname {Log} (z)={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {y+x\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}=0}
.
La dérivée de
Log
{\displaystyle \operatorname {Log} }
se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :
D
x
Log
(
z
)
=
D
z
Log
(
z
)
D
x
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)=\mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)\mathrm {D} _{x}(z)}
,
ce qui donne :
D
z
Log
(
z
)
=
D
x
Log
(
z
)
D
x
(
z
)
=
x
−
y
i
x
2
+
y
2
=
z
¯
z
¯
z
=
1
z
{\displaystyle \mathrm {D} _{z}\operatorname {Log} (z)={\frac {\mathrm {D} _{x}\operatorname {Log} (z)}{\mathrm {D} _{x}(z)}}={\frac {x-y\mathrm {i} }{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\bar {z}}{{\bar {z}}z}}={\frac {1}{z}}}
.
Puissance généralisée (
z
α
{\displaystyle z^{\alpha }}
)