Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass

Début de la boite de navigation du chapitre
Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Formule intégrale de Cauchy
Chap. suiv. :Développement en séries entières
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable complexe : Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Fonctions entières

modifier

Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur   telles que l'exponentielle complexe, les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de  .

Théorème de Liouville

modifier

Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur   qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Principe du (module) maximum

modifier

Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de   dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.

Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe.

Début d’un théorème
Fin du théorème