Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass

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Théorèmes de Liouville et de Weierstrass
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Chapitre no 5
Leçon : Fonctions d'une variable complexe
Chap. préc. :Formule intégrale de Cauchy
Chap. suiv. :Développement en séries entières
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Fonctions entièresModifier

Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur   telles que l'exponentielle complexe, les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de  .

Théorème de LiouvilleModifier

Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur   qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Principe du (module) maximumModifier

Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de   dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.

Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe.

Début d’un théorème
Fin du théorème