Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass

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Fonctions entières

Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur $\mathbb {C}$ telles que l'exponentielle complexe, les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de $\mathbb {C}$.

Théorème de Liouville

Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur $\mathbb {C}$ qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.

Début d’un théorème

Théorème de Liouville

Si $f$ est holomorphe dans $\mathbb {C}$ et s'il existe $N\in \mathbb {N}$ et $C>0$ tels que: $|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N}\;\;\forall z\in \mathbb {C}$,

alors $f$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $N$.

Fin du théorème

Principe du (module) maximum

Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de $\mathbb {C}$ dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.

Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la frontière de l'adhérence de cet ouvert connexe.

Début d’un théorème

Principe du maximum

• Si $f$ est holomorphe sur l'ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$ connexe et s'il existe $z_{0}\in \Omega$ tel que $|f(z_{0})|\geq |f(z)|\;\;\forall z$ dans un voisinage de $z_{0}$ ($|f|$ admet un maximum local dans $\Omega$) alors $f$ est constante dans $\Omega$.
• Si l'ouvert $\Omega$ est borné et $f$ dans $\Omega$ et continue dans ${\overline {\Omega }}$ (${\overline {\Omega }}$ désignant l'adhérence de $\Omega$) alors $\sup _{\overline {\Omega }}|f|=\sup _{\partial \Omega }|f|$.

Fin du théorème