En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonctions d'une variable complexe : Formule intégrale de Cauchy Fonctions d'une variable complexe/Formule intégrale de Cauchy », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Cette formule est très importante en analyse complexe.
Elle reflète de façon assez fidèle la rigidité du comportement d'une fonction holomorphe.
Celui-ci est entièrement déterminé par les valeurs que prend la fonction sur un seul chemin (à l'image du principe des zéros isolés).
Soit une fonction holomorphe sur un ouvert et soit un disque fermé , de bord le cercle . Alors, pour tout :
Fin du théorème
Par conséquent, du fait de l'invariance par homotopie de l'intégrale curviligne, si est un chemin qui « entoure » (il est possible de donner un sens précis à ce terme) le point dans , donne la valeur de la fonction en .
Représentation intégrale d'une fonction et de ses dérivées
Le théorème suivant donne des informations sur et sur ses dérivées, la formule établie peut être intuitivement perçue comme une dérivation sous le signe intégrale de l’expression de f(z) obtenue avec la formule de Cauchy : . On peut montrer rigoureusement que dans notre cas la dérivation sous le signe intégrale est possible.
Début d’un théorème
Représentation intégrale de et de ses dérivées
Soit une fonction holomorphe sur . Alors :
est holomorphe sur (ainsi, donc, que toutes ses dérivées) ;
pour tout disque fermé , de bord le cercle , on a :
.
Fin du théorème
Corollaire : suite convergente de fonctions holomorphes
Si une suite de fonctions holomorphes converge vers une fonction , uniformément sur tout compact d'un ouvert , alors est holomorphe sur et pour tout , la suite des dérivées converge vers , uniformément sur tout compact de .