Fonctions d'une variable réelle/Définitions

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Dans ce chapitre, soit :

• $A$ une partie non vide de $\mathbb {R}$ ;
• $f$ une fonction de $A$ dans $\mathbb {R}$ (on dit que $f$ est à valeurs dans $\mathbb {R}$).

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Bornes d'une fonction

Majorants, minorants

Définition

La fonction $f$ est dite :

• minorée si $\exists m\in \mathbb {R} \quad \forall x\in A\quad m\leq f(x)$ ;
• majorée si $\exists M\in \mathbb {R} \quad \forall x\in A\quad f(x)\leq M$.

On dit que :

• $m$ est un minorant de $f$ ;
• $M$ est un majorant de $f$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto x^{2}+1$.

• Elle admet par exemple $-12$, $-4$ et $1$ comme minorants.
• Néanmoins elle n'admet pas de majorant ! On s'en rend intuitivement compte graphiquement mais une preuve rigoureuse en découlera simplement du cours sur les limites.

Fin de l'exemple

Définition

La fonction $f$ est dite bornée si elle est majorée et minorée.

Début de l'exemple

Exemple

La fonction $\cos$ est bornée.

Fin de l'exemple

Propriété

$f$ est bornée si et seulement si on a :

$\exists M\in \mathbb {R} \quad \forall x\in A\quad |f(x)|\leq M$

Démonstration

($\Leftarrow$) : On a alors $-M\leq f(x)\leq M$ sur $A$ donc OK.

($\Rightarrow$) : On a par hypothèse $\left\{{\begin{array}{ccc}f(x)&\leq &\mu _{1}\\f(x)&\geq &\mu _{2}\end{array}}\right.$ sur $A$ pour certains réels $\mu _{1}$ et $\mu _{2}$.
On a donc a fortiori $\left\{{\begin{array}{ccc}f(x)&\leq &|\mu _{1}|\\f(x)&\geq &-|\mu _{2}|\end{array}}\right.$ sur $A$ .
Ceci étant, posons $M=\max(|\mu _{1}|,|\mu _{2}|)$.
On a alors car $M\geq 0$ que $\left\{{\begin{array}{ccc}f(x)&\leq &M\\f(x)&\geq &-M\end{array}}\right.$ sur $A$.
Il s'ensuit que l'on a $|f(x)|\leq M$ sur $A$.

CQFD.

 

Extremums

Maximum, minimum

• On dit que $f$ admet un maximum en $x_{0}\in A$ si $\forall x\in A\quad f(x)\leq f(x_{0})$.
• Notons que cette valeur ne dépend pas de $x_{0}$, dans le sens où si la propriété ci-dessus est vérifiée pour un $x_{1}\in A$, alors on a $f(x_{1})=f(x_{0})$ (on démontre cela ci-dessous). Dès lors, on appelle la valeur $f(x_{0})$ le maximum de $f$. Il est noté $\max _{x\in A}f(x)$, ou aussi $\max _{A}f$.

• On définit de la même manière un minimum en remplaçant $\leq$ par $\geq$. Pour la notation, remplacer $\max$ par $\min$.

• On appelle extremum un maximum ou un minimum.

Démonstration

On fait seulement la démonstration pour le $\max$, l’autre étant analogue.

Supposons que $f$ admette un maximum en $x_{0}$ et un autre en $x_{1}$. On veut montrer que les valeurs de $f$ en ces points sont en fait égales. C'est trivial, on a en effet $f(x_{1})\leq f(x_{0})$ et $f(x_{0})\leq f(x_{1})$. On a donc $f(x_{0})=f(x_{1})$.

CQFD.

 

Ne pas confondre le maximum, $f(x_{0})$ , et un point en lequel le maximum est atteint, $x_{0}$.

Méthode

Prouver que $f$ admet un réel $M$ comme maximum (resp. minimum) revient à montrer que $M$ est un majorant (resp. minorant) de $f$ et que sa valeur est atteinte par $f$.

Ne pas confondre maximum (resp. minimum) et majorant (resp. minorant) ! En effet, soit $f$ la fonction inverse définie sur $]0;+\infty [$. $f$ n'admet pas $0$ pour minimum (la valeur n’est en effet jamais atteinte) ! Et ce bien que $0$ soit un minorant, et même le plus grand des minorants !

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto x^{2}+1$. Elle admet $1$ comme minimum, atteint en $x_{0}=0$. Par contre $f$ n'admet pas de maximum.

Fin de l'exemple

Démonstration

• Soit un réel $x$. On a $x^{2}\geq 0$ et donc $x^{2}+1\geq 1$, i.e. $f(x)\geq f(0)=1$.
• Si $f$ admettait un maximum, elle serait majorée. Or c'est faux, on a vu dans un exemple au-dessus pourquoi.

 

Remarque

$\max _{x\in A}f(x)$ (resp. $\min _{x\in A}f(x)$) et $\max f(A)$ (resp. $\min f(A)$) sont en fait le même objet. Je vous laisse le montrer en exercice, c'est simple.

Extremums locaux

Il arrive souvent qu'une fonction n’admette un extremum en un point $x_{0}$ que quand $x$ est assez près de $x_{0}$. On parle alors d'extremum local.

Cela signifie que l’on doit se restreindre autour d'un intervalle suffisamment petit autour de $x_{0}$. Et c'est là la différence avec les extremums vus dans la partie avant, aussi appelé parfois extremums globaux, puisque la relation était vérifiée pour tout $x\in A$.

Enfin, autrement dit, un maximum local (resp. minimum) est un point au voisinage duquel la fonction ne prend que des valeurs plus petites (resp. grandes), mais cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.

Début de l'exemple

Exemple

Fin de l'exemple

Voici la définition formelle, qui est une simple traduction de ce qui a été dit.

Maximum, minimum local

• On dit que $f$ admet un maximum local en $x_{0}\in A$ si $\exists \eta >0\quad \forall x\in A\cap ]x_{0}-\eta ;x_{0}+\eta [\quad f(x)\leq f(x_{0})$.
• On définit de manière analogue un minimul local.
• On appelle extremum local un maximum local ou un minimum local.

Remarque

Notons qu'un extremum global est a fortiori un extremum local. Prendre n'importe quel $\eta >0$ (par exemple $\eta =1$) pour s'en convaincre...

Bornes supérieure, inférieure

On rappelle que l'existence des quantités qui suivent est garantie par le fait que $\mathbb {R}$ vérifie la propriété de la borne supérieure et inférieure.

Définition

• On suppose que $f$ est majorée. On sait alors que $\sup f(A)$ existe et est finie. On appelle borne supérieure de $f$ cette quantitée, notée $\sup _{x\in A}f(x)$ ou $\sup _{A}f$.
• On suppose que $f$ est minorée. On sait alors que $\inf f(A)$ existe et est finie. On appelle borne inférieure de $f$ cette quantitée, notée $\inf _{x\in A}f(x)$ ou $\inf _{A}f$.