Fonctions d'une variable réelle/Limites

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Limites
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
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Fonctions d'une variable réelle/Limites
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Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

Soient une partie de , une fonction de dans , et un point adhérent à .

Les deux cas les plus fréquents de cette notion de topologie générale sont un intervalle réel ou (pour une suite)  ; il suffit, pour ces deux cas, de savoir que :
  • aucun point n'est adhérent à  ;
  • si est un intervalle non vide d'extrémités , l'ensemble des points de adhérents à est  ;
  • l'ensemble des points de adhérents à est .

Définitions formaliséesModifier

Limite finie en un pointModifier


En français, on pourrait dire que   a pour limite   en   si, pour un intervalle   choisi autour de   aussi petit que l’on veut, il existe un intervalle de valeurs de   autour de   pour lequel tous les   appartiennent à  .

On note alors   ou, de manière plus condensée,  .

Limite infinie en un pointModifier


En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel  , en se rapprochant suffisamment de  , on finit par dépasser la valeur de  .   prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de  .

On note :

  •   ou   si   a pour limite   en  
  •   ou   si   a pour limite   en  

Limite finie en l'infiniModifier


En français, tout intervalle ouvert contenant   contient aussi toutes les valeurs   pour   suffisamment :

  • grand si   a pour limite   en  . On note alors   ou   ;
  • petit si   a pour limite   en  . On note alors   ou  .

Limite infinie en l'infiniModifier


En français, cela revient à dire que tout intervalle   contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment :

  • grand si   a pour limite   en  . On note alors   ou   ;
  • petit si   a pour limite   en  . On note alors   ou  .


En français, cela revient à dire que tout intervalle   contient toutes les valeurs de   pour   suffisamment :

  • grand si   a pour limite   en  . On note alors   ou   ;
  • petit si   a pour limite   en  . On note alors   ou  .

Limite « épointée » en un pointModifier


On la note alors  .

On a donc :

  • si  ,   ;
  • si  ,  .

Limite « unilatérale » en un pointModifier


On définit de même la limite à droite en remplaçant   par  .

On note (lorsqu'elles existent) :

  •   ou   ou   la limite à gauche ;
  •   ou   ou   la limite à droite.

Théorèmes sur les limitesModifier

Premières propriétésModifier

C'est une conséquence immédiate de la propriété ci-dessous « Limites et relation d'ordre », appliquée à  .

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite.

Limites et opérationsModifier

Ces propriétés sont aussi valables (et se démontrent de la même façon) pour les limites à droite et à gauche, pour le cas p = ±∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les règles suivantes :

  • q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
  • q × ∞ = ∞ si q > 0
  • q × ∞ = -∞ si q < 0
  • q / ∞ = 0 si q ≠ ± ∞.

Remarquons qu’il n'y a pas de règle générale pour le cas q/0 : cela dépend de la façon dont on s'approche de 0. Certains cas, comme 0/0, 0 × ∞, ∞-∞ ou ∞/∞, ne sont pas non plus couverts par ces règles.

Formes indéterminéesModifier

Il existe certaines formes de limite où il est n’est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

  • Indétermination de la forme 0/0 quand le résultat obtenu donne 0/0
  • Indétermination de la forme ∞/∞ quand le résultat obtenu donne ∞/∞
  • Indétermination de la forme ∞ - ∞ quand le résultat obtenu donne ∞ - ∞
  • Indétermination de la forme 0 × ∞ qui se ramène aux deux premiers cas en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques règles opératoires pour lever les FI :

  • Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle "des monômes de plus haut degré" qui n'est valable qu'en l'infini:

(démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit  .Le monôme de plus haut degré est  .
Alors  
et de même :  .
2/ Soit  .Les monômes de plus hauts degrés sont   et  .
Alors  .

  • Factorisation par le terme "le plus fort en l'infini" :
    (à faire)
  • Règle de L'Hospital :

Du nom du marquis de L'Hospital, mathématicien français du XVIIe siècle, cette règle permet de simplifier les FI 0/0 ou ∞/∞ : voir Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité).

Limite d'une fonction composéeModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Limites et relation d'ordreModifier

Les trois théorèmes qui suivent sont valables mutatis mutandis pour  . Ils se généralisent même à des fonctions définies sur une partie   d'un espace topologique quelconque  , avec   adhérent à  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Par exemple (pour   ou   constante) :

  • si   alors   ;
  • si   alors  .

En affaiblissant la contraposée du théorème, on en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :

Par exemple (pour   ou   constante, et en remplaçant   par  ) :

  • si   alors   ;
  • si   alors  .

Attention ! Ce corollaire devient faux si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Contre-exemple :   est à valeurs strictement positives sur  , mais  .

Les deux théorèmes suivants sont très utiles dans la pratique :

Début d’un théorème
Fin du théorème


 
Le nom de « théorème des gendarmes » vient de l'analogie suivante : les fonctions   et   jouent le rôle de deux gendarmes qui encadrent le bandit (la fonction  ) et qui l'obligent à aller en prison (la limite  ).

Dans les applications de ce théorème et du suivant, si les inégalités entre fonctions ne sont réalisées que sur une partie de  , on peut toujours restreindre les fonctions à ce domaine plus petit, pourvu que   y soit encore adhérent.

Exemple. En appliquant le théorème à

 , encadrée sur   par
  et   (car  ),

on trouve, puisque   et   :

 .
Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple : Soit  .

Comme   et comme  , on en déduit que  .

Théorème de la limite monotoneModifier

On utilise la convention suivante, pour une partie non vide   de   :

  • si   est non majorée, alors   ;
  • si   est non minorée, alors  .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Cf. Ramis, Deschamps et Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, 1976, p. 119-120.

En particulier, une application monotone bornée sur un intervalle   possède une limite finie à gauche et une limite finie à droite en tout point de cet intervalle, ainsi qu'une limite à droite en   et une limite à gauche en  .