Fonctions d'une variable réelle/Limites

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Remarque : Pour une compréhension intuitive de la notion de limite, voyez les premiers chapitres du cours Limites d'une fonction.

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Soient ${\mathcal {D}}$ une partie de $\mathbb {R}$, $f$ une fonction de ${\mathcal {D}}$ dans $\mathbb {R}$, et $a\in {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ un point adhérent à ${\mathcal {D}}$.

Les deux cas les plus fréquents de cette notion de topologie générale sont ${\mathcal {D}}=$ un intervalle réel ou (pour une suite) ${\mathcal {D}}=\mathbb {N}$ ; il suffit, pour ces deux cas, de savoir que :

• aucun point n'est adhérent à $\varnothing$ ;
• si ${\mathcal {D}}$ est un intervalle non vide d'extrémités $\alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}$, l'ensemble des points de ${\overline {\mathbb {R} }}$ adhérents à ${\mathcal {D}}$ est ${\mathcal {D}}\cup \{\alpha ,\beta \}$ ;
• l'ensemble des points de ${\overline {\mathbb {R} }}$ adhérents à $\mathbb {N}$ est $\mathbb {N} \cup \{+\infty \}$.

Définitions formalisées

Limite finie en un point

Définition

Si $a\in \mathbb {R}$, $f$ a pour limite en $a$ le réel $l$ si :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in ]a-\delta ,a+\delta [\cap {\mathcal {D}}\quad |f(x)-l|\leq \varepsilon$.

En français, on pourrait dire que $f$ a pour limite $l$ en $a$ si, pour un intervalle $I$ choisi autour de $l$ aussi petit que l’on veut, il existe un intervalle de valeurs de $x$ autour de $a$ pour lequel tous les $f(x)$ appartiennent à $I$.

On note alors $\lim _{x\to a}f(x)=l$ ou, de manière plus condensée, $\lim _{a}f=l$.

Remarque

Ici et dans la suite de cette leçon, on a fait le choix d'une inégalité stricte pour l'« écart de confiance » (ici : $|x-a|<\delta$) et d'une inégalité large pour l'« écart de tolérance » (ici : $|f(x)-l|\leq \varepsilon$), mais on obtiendrait des définitions équivalentes en faisant, pour l'un ou l'autre, le choix inverse. Par exemple ici (avec, pour alléger, $D=\mathbb {R}$) :

• si $\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x~(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon )$ alors $\forall \varepsilon '>0~\exists \delta '>0~\forall x~(|x-a|<\delta '\Rightarrow |f(x)-l|~{\color {red}<}~\varepsilon ')$ (en choisissant pour $\delta '$ un $\delta$ associé, dans l'hypothèse, à n'importe quel $\varepsilon >0$ strictement inférieur à $\varepsilon '$, par exemple $\varepsilon =\varepsilon '/2$) ;
• si $\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x~(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon )$ alors $\forall \varepsilon '>0~\exists \delta '>0~\forall x~(|x-a|~{\color {red}\leq }~\delta '\Rightarrow |f(x)-l|\leq \varepsilon ')$ (en prenant un $\delta$ associé, dans l'hypothèse, à $\varepsilon =\varepsilon '$, puis en choisissant pour $\delta '$ n'importe quel réel strictement compris entre $0$ et $\delta$, par exemple $\delta '=\delta /2$) ;
• on peut combiner ces deux techniques pour les autres variantes.

Limite infinie en un point

Définition

Si $a\in \mathbb {R}$, $f$ a pour limite en $a$ :

• $+\infty$ si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists \delta >0,\forall x\in ]a-\delta ,a+\delta [\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)\geq M$ ;
• $-\infty$ si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists \delta >0,\forall x\in ]a-\delta ,a+\delta [\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)\leq M$.

En français, cela revient à dire que, aussi grand (ou petit) qu'on prenne un réel $M$, en se rapprochant suffisamment de $a$, on finit par dépasser la valeur de $M$. $f$ prend ainsi des valeurs infiniment grandes (ou petites) au voisinage de $a$.

On note :

• $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty$ ou $\lim _{a}f=+\infty$ si $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$
• $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$ ou $\lim _{a}f=-\infty$ si $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$

Limite finie en l'infini

Définition

$f$ a pour limite le réel $l$ :

• en $+\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]A,+\infty [\quad |f(x)-l|\leq \varepsilon$.
• en $-\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall \varepsilon >0\quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]-\infty ,A[\quad |f(x)-l|\leq \varepsilon$.

En français, tout intervalle ouvert contenant $l$ contient aussi toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$. On note alors $\lim _{x\to +\infty }f(x)=l$ ou $\lim _{+\infty }f=l$ ;
• petit si $f$ a pour limite $l$ en $-\infty$. On note alors $\lim _{x\to -\infty }f(x)=l$ ou $\lim _{-\infty }f=l$.

Limite infinie en l'infini

Définition

$f$ a pour limite $+\infty$ :

• en $+\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]A,+\infty [\quad f(x)\geq M$ ;
• en $-\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]-\infty ,A[\quad f(x)\geq M$.

En français, cela revient à dire que tout intervalle $[M,+\infty [$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$. On note alors $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ ou $\lim _{+\infty }f=+\infty$ ;
• petit si $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$. On note alors $\lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ ou $\lim _{-\infty }f=+\infty$.

Définition

$f$ a pour limite $-\infty$ :

• en $+\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]A,+\infty [\quad f(x)\leq M$ ;
• en $-\infty$ (supposé adhérent à ${\mathcal {D}}$) si :
  $\forall M\in \mathbb {R} \quad \exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\cap ]-\infty ,A[\quad f(x)\leq M$.

En français, cela revient à dire que tout intervalle $]-\infty ,M]$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment :

• grand si $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$. On note alors $\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ ou $\lim _{+\infty }f=-\infty$ ;
• petit si $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$. On note alors $\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ ou $\lim _{-\infty }f=-\infty$.

Limite « épointée » en un point

Définition

Si $a\in \mathbb {R}$ est adhérent à ${\mathcal {D}}\setminus \{a\}$, la limite épointée de $f$ en $a$ est, si elle existe, la limite (finie ou infinie) en $a$ de la restriction de $f$ à ${\mathcal {D}}\setminus \{a\}$.

On la note alors $\lim _{\underset {x\not =a}{x\to a}}f(x)$.

On a donc :

• si $a\notin {\mathcal {D}}$, $\lim _{x\to a}f(x)=l\Leftrightarrow \lim _{\underset {x\not =a}{x\to a}}f(x)=l$ ;
• si $a\in {\mathcal {D}}$, $\lim _{x\to a}f(x)=l\Leftrightarrow \lim _{\underset {x\not =a}{x\to a}}f(x)=l{\text{ et }}f(a)=l$.

Limite « unilatérale » en un point

• 
• 
• 
• 

Définition

Si $a\in \mathbb {R}$ est adhérent à ${\mathcal {D}}\cap ]-\infty ,a[$, la limite à gauche de $f$ en $a$ est, si elle existe, la limite (finie ou infinie) en $a$ de la restriction de $f$ à ${\mathcal {D}}\cap ]-\infty ,a[$.

On définit de même la limite à droite en remplaçant $]-\infty ,a[$ par $]a,+\infty [$.

On note (lorsqu'elles existent) :

• $\lim _{\underset {x<a}{x\to a}}f(x)$ ou $\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ ou $\lim _{a^{-}}f$ la limite à gauche ;
• $\lim _{\underset {x>a}{x\to a}}f(x)$ ou $\lim _{x\to a^{+}}f(x)$ ou $\lim _{a^{+}}f$ la limite à droite.

Théorèmes sur les limites

Premières propriétés

Propriété : Unicité de la limite

Si $\lim _{x\to a}f(x)=l\in {\overline {\mathbb {R} }}$, alors cette limite est unique.

C'est une conséquence immédiate de la propriété ci-dessous « Limites et relation d'ordre », appliquée à $g=f$.

On va maintenant voir comment caractériser une limite de fonction à partir de limite de suite.

Propriété : Caractérisation séquentielle d'une limite

$\lim _{a}f=l\in {\overline {\mathbb {R} }}$ si, et seulement si :

Pour toute suite $(x_{n})$ à valeurs dans ${\mathcal {D}}$ qui converge vers $a$, la suite $(f(x_{n}))$ tend vers $l$.

Démonstration

* Supposons que $\lim _{x\to a}f(x)=l$ et que $(x_{n})$ est une suite à valeurs dans ${\mathcal {D}}$ qui tend vers $a$. Alors, d'après le théorème sur la limite d'une fonction composée, la suite $(f(x_{n}))$ tend vers $l$.

• Réciproquement, supposons que l’on n'a pas $\lim _{x\to a}f(x)=l$ et montrons qu’il existe une suite de réels $x_{n}\in {\mathcal {D}}$ qui converge vers $a$, et telle que la suite $(f(x_{n}))$ ne converge pas vers $l$. On ne donne ici la preuve que pour une limite finie en un point, mais elle est transposable aux autres cas. Par négation de $\lim _{x\to a}f(x)=l$, il existe un $\varepsilon >0$ tel que
  $\forall \delta >0\quad \exists x\in {\mathcal {D}}\quad |x-a|<\delta \quad |f(x)-l|\geq \varepsilon$
  donc tel que
  $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \exists x_{n}\in {\mathcal {D}}\quad |x_{n}-a|<1/n\quad |f(x_{n})-l|\geq \varepsilon ,$
  ce qui conclut.

Limites et opérations

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$, $a\in I$ et $\lambda \in \mathbb {R}$.

Si $\lim _{x\to a}f(x)=l\in \mathbb {R}$ et $\lim _{x\to a}g(x)=l'\in \mathbb {R}$, alors :

• $\lim _{x\to a}(f+\lambda g)(x)=l+\lambda l'$ ;
• $\lim _{x\to a}(fg)(x)=ll'$ ;
• si $l'\neq 0$, alors ${\frac {1}{g}}$ est bien définie au voisinage de $a$ et $\lim _{x\to a}\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {l}{l'}}$, en particulier $\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{g}}\right)(x)={\frac {1}{l'}}$.

Démonstration

Par hypothèse, pour tout $\delta >0$, il existe $\alpha _{\delta },\beta _{\delta }>0$ tels que pour tout $x\in I$ :

• $|x-a|<\alpha _{\delta }\Rightarrow |f(x)-l|\leq \delta$ ;
• $|x-a|<\beta _{\delta }\Rightarrow |g(x)-l'|\leq \delta$ ;

donc en posant $\gamma _{\delta }=\min(\alpha _{\delta },\beta _{\delta })$ :

• $|x-a|<\gamma _{\delta }\Rightarrow |f(x)-l|\leq \delta \quad {\text{et}}\quad |g(x)-l'|\leq \delta$.

Fixons $\varepsilon >0$. On a :

• Pour la somme :

  D'après l'inégalité triangulaire, si $|f(x)-l|\leq \delta$ et $|g(x)-l'|\leq \delta$ alors

  $|(f+g)(x)-(l+l')|=|(f(x)-l)+(g(x)-l')|\leq 2\delta$.

  En choisissant $\delta =\varepsilon /2$ on a donc :

  si $|x-a|<\gamma _{\delta }$ alors $|(f+g)(x)-(l+l')|\leq \varepsilon$,

  ce qui prouve que $\lim _{x\to a}(f+g)(x)=l+l'$.

• Pour le produit : si $|f(x)-l|\leq \delta$ et $|g(x)-l'|\leq \delta$ alors

  $|(fg)(x)-ll'|=|(f(x)-l)(g(x)-l')+(f(x)-l)l'+l(g(x)-l')|\leq \delta ^{2}+(|l|+|l'|)\delta$.

  En choisissant $\delta =\min \left(1,\varepsilon /(1+|l|+|l'|)\right)$ on a donc :

  si $|x-a|<\gamma _{\delta }$ alors $|(fg)(x)-ll'|\leq (1+|l|+|l'|)\delta \leq \varepsilon$,

  ce qui prouve que $\lim _{x\to a}(fg)(x)=ll'$.

• Pour la combinaison linéaire $f+\lambda g$ :

  La propriété se déduit de celles pour le produit (par la fonction constante $\lambda$) et la somme.

• Pour l'inverse :

  Si $|g(x)-l'|\leq \delta \leq |l'|/2$ alors $|g(x)|\geq |l'|/2>0$ et

  $\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{l'}}\right|={\frac {|l'-g(x)|}{|g(x)||l'|}}\leq {\frac {2\delta }{l'^{2}}}$.

  En choisissant $\delta =\min \left(|l'|/2,l'^{2}\varepsilon /2\right)$ on a donc :

  si $|x-a|<\beta _{\delta }$ alors $g'(x)\neq 0$ et $\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{l'}}\right|\leq \varepsilon$,

  ce qui prouve que ${\frac {1}{g}}$ est bien définie au voisinage de $a$ et $\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{g}}\right)(x)={\frac {1}{l'}}$.

• Pour le quotient :

  La propriété se déduit de celles pour le produit et l'inverse.

 

Ces propriétés sont aussi valables (et se démontrent de la même façon) pour les limites à droite et à gauche, et pour le cas $a=\pm \infty$.
Pour traiter des limites infinies, c'est en fait très intuitif, et voici quelques cas de figure:

• $l+(+\infty )=+\infty$ si $l\neq -\infty$
• $l\times (+\infty )=+\infty$ si $l>0$
• $l\times (+\infty )=-\infty$ si $l<0$
• ${\frac {l}{+\infty }}=0$ si $l$ est finie.
• Les cas avec $-\infty$ sont analogues mais en changeant les signes.

Tous les cas ne sont pas traités ici, on va voir dans la partie d'après qu'il n’existe en fait pas de formule générale pour certaines formes, appelées formes indéterminées.

Formes indéterminées

Il existe certaines formes de limite où il est n’est pas possible de conclure directement en utilisant des opérations sur les limites, ce sont les formes indéterminées (FI) :

• ${\frac {0}{0}}$
• ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$
• $+\infty -(+\infty )$
• $+\infty +(-\infty )$
• $0\times (\pm \infty )$

Notons que cette dernière forme se ramène aux deux premières. En effet, multiplier par l'infini équivaut à une division par $0$. Et aussi, multiplier par $0$ équivaut à une division par l'infini.

Règles opératoires pour lever l'indétermination :
Voici quelques règles opératoires pour lever les FI :

• Fonctions polynomiales et rationnelles :

On a la règle « des monômes de plus haut degré » qui n'est valable qu'en l'infini:

Règle

• La limite en l'infini d'une fonction polynomiale est égale à celle de son monôme (ou terme) de plus haut degré.
• La limite en l'infini d'une fonction rationnelle est égale à celle du quotient de ses monômes de plus hauts degrés.

(démonstration à faire) Exemples :
1/ Soit $f:x\mapsto x^{2}-2x^{3}+x-5$. Le monôme de plus haut degré est $-2x^{3}$.
Alors $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }-2x^{3}=-\infty$
et de même : $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }-2x^{3}=+\infty$.
2/ Soit $g:x\mapsto {\frac {x^{2}-2x^{3}+x-5}{x^{3}-x+7}}$. Les monômes de plus hauts degrés sont $-2x^{3}$ et $x^{3}$.
Alors $\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {-2x^{3}}{x^{3}}}=-2$.

• Factorisation par le terme « le plus fort en l'infini » :
  (à faire)
• Règle de L'Hôpital :

Elle permet de simplifier les FI ${\frac {0}{0}}$ et ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$. Consulter « Règles de L'Hôpital » au chapitre Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité.

Limite d'une fonction composée

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux parties de $\mathbb {R}$, $f:A\to B$ et $g:B\to \mathbb {R}$ deux applications, et $a,b,c\in {\overline {\mathbb {R} }}$, avec $a$ adhérent à $A$.

${\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.$

Démonstration

On pourrait formuler cette démonstration en termes généraux de voisinages, mais traitons plus explicitement deux cas (dans tous les autres cas, la démonstration est identique après modification de la forme des voisinages).

• Premier cas : $a,b,c\in \mathbb {R}$.

  Soit $\varepsilon >0$.

  Comme $\lim _{x\to b}g(x)=c$, il existe $\eta >0$ tel que $\forall y\in B\;\left(|y-b|<\eta \Rightarrow |g(y)-c|<\varepsilon \right)$.

  Puis, comme $\lim _{x\to a}f(x)=b$, il existe $\delta >0$ tel que $\forall x\in A\;\left(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\eta \right)$.

  On a donc bien associé à chaque $\varepsilon >0$ un $\delta >0$ tel que
  $\forall x\in A\;\left(|x-a|<\delta \Rightarrow |g(f(x))-c|<\varepsilon \right)$, d'où le résultat.

• Deuxième cas : $a\in \mathbb {R} ,b=+\infty ,c=-\infty$.

  Soit $M\in \mathbb {R}$.
  Comme $\lim _{x\to +\infty }g(x)=-\infty$, il existe $N\in \mathbb {R}$ tel que $\forall y\in B\;\left(y>N\Rightarrow g(y)<M\right)$.

  Puis, comme $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty$, il existe $\delta >0$ tel que $\forall x\in A\;\left(|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>N\right)$.

  On a donc bien associé à chaque $M\in \mathbb {R}$ un $\delta >0$ tel que
  $\forall x\in A\;\left(|x-a|<\delta \Rightarrow g(f(x))<M\right)$, d'où le résultat.

 

Début de l'exemple

Exemple

Calculer $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$.

Par définition, pour tout $\forall x>0$ :

$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln(1+{\frac {1}{x}})}=(g\circ f)(x)$ où $f(x)=x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$ et $g(y)=\mathrm {e} ^{y}$.

Or :

• $f(x)={\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}=(g_{1}\circ f_{1})(x)\;{\text{avec}}\;f_{1}(x)={\frac {1}{x}}\;{\text{et}}\;g_{1}(u)={\frac {\ln(1+u)}{u}}$ ;
• $\lim _{x\to +\infty }f_{1}(x)=0\,\;{\text{et}}\;\lim _{u\to 0}g_{1}(u)=1$ donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=1$ (première application de la propriété) ;
• $\lim _{y\to 1}g(y)=\mathrm {e}$

donc en appliquant une deuxième fois la propriété :

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\mathrm {e}$.

Faites ces exercices : Exercice 7-3.

Fin de l'exemple

Limites et relation d'ordre

Les trois théorèmes qui suivent sont valables mutatis mutandis pour $a=\pm \infty$. Ils se généralisent même à des fonctions définies sur une partie ${\mathcal {D}}$ d'un espace topologique quelconque $X$, avec $a\in X$ adhérent à ${\mathcal {D}}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soient $f$ et $g$ définies sur ${\mathcal {D}}$ et $a$ un réel adhérent à ${\mathcal {D}}$ en lequel $f$ et $g$ admettent chacune une limite (finie ou infinie).

Si $\lim _{a}f<\lim _{a}g$ alors $\exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)<g(x)$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $b$ un réel strictement compris entre $\lim _{a}f$ et $\lim _{a}g$. Par définition des limites (qu'elles soient finies ou infinies) :

• $\exists \eta _{1}>0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)<b$ ;
• $\exists \eta _{2}>0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad g(x)>b$.

En prenant $\eta =\min(\eta _{1},\eta _{2})$, on en déduit le résultat annoncé.

 

Par exemple (pour $g$ ou $f$ constante) :

• si $\lim _{a}f<M$ alors $\exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)<M$ ;
• si $\lim _{a}g>m$ alors $\exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad g(x)>m$.

En affaiblissant la contraposée du théorème, on en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :

Corollaire

Sous les mêmes hypothèses,

si $\exists \eta >0\quad \forall x\in \left]a-\eta ,a+\eta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad g(x)\leq f(x)$ alors $\lim _{a}g\leq \lim _{a}f$.

Par exemple (pour $g$ ou $f$ constante, et en remplaçant ${\mathcal {D}}$ par ${\mathcal {D}}\cap \left]a-\eta ,a+\eta \right[$) :

• si $\forall x\in {\mathcal {D}}\quad f(x)\geq m$ alors $\lim _{a}f\geq m$ ;
• si $\forall x\in {\mathcal {D}}\quad g(x)\leq M$ alors $\lim _{a}g\leq M$.

Attention ! Ce corollaire devient faux si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes.

Contre-exemple : $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ est à valeurs strictement positives sur $\left]0,+\infty \right[$, mais $\lim _{+\infty }f=0\not >0$.

Les deux théorèmes suivants sont très utiles dans la pratique :

Début d’un théorème

Théorème des gendarmes

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur ${\mathcal {D}}$, et $a$ un réel adhérent à ${\mathcal {D}}$.

Si $f\leq g\leq h$ et $\lim _{a}f=\lim _{a}h=l\in \mathbb {R}$, alors $\lim _{a}g=l$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $U$ un intervalle ouvert contenant $l$.

• Puisque $\lim _{a}f=l$, il existe $\delta _{1}>0$ tel que

  $\forall x\in \left]a-\delta _{1},a+\delta _{1}\right[\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)\in U$.

• Puisque $\lim _{a}h=l$, il existe $\delta _{2}>0$ tel que

  $\forall x\in \left]a-\delta _{2},a+\delta _{2}\right[\cap {\mathcal {D}}\quad h(x)\in U$.

Posons $\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$. D'après la propriété d'encadrement, on obtient :

$\forall x\in \left]a-\delta ,a+\delta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad g(x)\in [f(x),h(x)]\subset U$.

On a donc bien associé, à tout intervalle ouvert $U$ contenant $l$, un $\delta >0$ tel que

$\forall x\in \left]a-\delta ,a+\delta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad \quad g(x)\in U$,

ce qui prouve que $\lim _{a}g=l$.

Le nom de « théorème des gendarmes » vient de l'analogie suivante : les fonctions $f$ et $h$ jouent le rôle de deux gendarmes qui encadrent le bandit (la fonction $g$) et qui l'obligent à aller en prison (la limite $L$).

Dans les applications de ce théorème et du suivant, si les inégalités entre fonctions ne sont réalisées que sur une partie de ${\mathcal {D}}$, on peut toujours restreindre les fonctions à ce domaine plus petit, pourvu que $a$ y soit encore adhérent.

Exemple. En appliquant le théorème à

$g:x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$, encadrée sur ${\mathcal {D}}:=\left]0,+\infty \right[$ par

$f:x\mapsto {\frac {-1}{x}}$ et $h:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ (car $-1\leq \sin x\leq 1$),

on trouve, puisque $\lim _{x\to +\infty }{\frac {-1}{x}}=0$ et $\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0$ :

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x}}=0$.

Début d’un théorème

Théorème de comparaison

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur ${\mathcal {D}}$, et $a$ un réel adhérent à ${\mathcal {D}}$.

• Si $f\leq g$ et $\lim _{a}f=+\infty$, alors $\lim _{a}g=+\infty$.
• Si $g\leq h$ et $\lim _{a}h=-\infty$, alors $\lim _{a}g=-\infty$.

Fin du théorème

Démonstration

On ne démontre que la première assertion (la seconde s'en déduit en remplaçant les fonctions par leurs opposées, ou se démontre de même).

Soit $M\in \mathbb {R}$. Puisque $\lim _{a}f=+\infty$, il existe $\delta >0$ tel que

$\forall x\in \left]a-\delta ,a+\delta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad f(x)\geq M$.

Puisque $g\geq f$, on obtient alors :

$\forall x\in \left]a-\delta ,a+\delta \right[\cap {\mathcal {D}}\quad g(x)\geq M$,

ce qui est bien le résultat voulu.

Exemple : Soit $g:x\mapsto {\frac {x}{2-\cos x}}$.

Comme $\forall x\in \mathbb {R} \quad -1\leq -\cos x\leq 1\Rightarrow 0<2-\cos x\leq 3\Rightarrow {\frac {1}{3}}\leq {\frac {1}{2-\cos x}}\Rightarrow {\frac {x}{3}}\leq g(x)$ et comme $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{3}}=+\infty$, on en déduit que $\lim _{+\infty }g=+\infty$.

Théorème de la limite monotone

On utilise la convention suivante, pour une partie non vide $E$ de $\mathbb {R}$ :

• si $E$ est non majorée, alors $\sup E=+\infty$ ;
• si $E$ est non minorée, alors $\inf E=-\infty$.

Début d’un théorème

Théorème de la limite monotone

Soient $D$ une partie de $\mathbb {R}$, $f:D\to \mathbb {R}$ une application croissante et $a\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ adhérent à $D\cap ]-\infty ,a[$ (resp. $D\cap ]a,+\infty [$). Alors,

$\lim _{a^{-}}f=\sup f(D\cap ]-\infty ,a[)$ (resp. $\lim _{a^{+}}f=\inf f(D\cap ]a,+\infty [)$.

On a des résultats analogues pour $f$ décroissante, en intervertissant $\inf$ et $\sup$.

Fin du théorème

Cf. Ramis, Deschamps et Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, 1976, p. 119-120.

Démonstration

Le cas $f$ décroissante se déduit du cas $f$ croissante en remplaçant $f$ par $-f$, et le cas de la limite à droite se déduit de celui de la limite à gauche par le changement de variable $x\mapsto -x$. On peut donc se contenter de démontrer la première assertion.

Notons $E=f(D\cap \left]-\infty ,a\right[)$ et $M=\sup E$ (qui, de même que $a$, peut être fini ou $+\infty$).

Soit $m<M$. Par définition de $M$, le réel $m$ n'est pas un majorant de $E$. Il existe donc un réel $x_{m}\in D\cap \left]-\infty ,a\right[$ tel que $f(x_{m})>m$. Par croissance de $f$, on obtient ainsi :

$\forall x\in D\cap \left[x_{m},+\infty \right[\quad f(x)>m.$

D'autre part, tous les $x\in D\cap \left]-\infty ,a\right[$ vérifient : $f(x)\leq M$. On a donc démontré :

$\forall m<M\quad \exists x_{m}<a\quad f(D\cap \left[x_{m},a\right[)\subset \left]m,M\right]$,

ce qui prouve que la limite de $f$ en $a^{-}$ est bien $M$.

En particulier, une application monotone bornée sur un intervalle $]a,b[$ possède une limite finie à gauche et une limite finie à droite en tout point de cet intervalle, ainsi qu'une limite à droite en $a$ et une limite à gauche en $b$.