Fonctions homographiques/Étude
La fonction homographique est la fonction où .
La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant , on a l'égalité suivante : .
Étude des variations
modifierOn pose : .
Fonction dérivée
modifierOn a . On peut donc poser :
- et .
On a donc .
Or et , d'où :
- .
Signe de la dérivée
modifierOn se propose d'étudier le signe de la dérivée de .
On sait que . Or est une grandeur positive, donc : .
Or ne dépend pas de , donc est de signe constant sur et :
Soit f une fonction homographique définie sur , alors est de signe constant sur et :
Variations d'une fonction homographique
modifierOn peut donc déduire du signe de les variations de .
Limites d'une fonction homographique
modifierCalcul des limites
modifierSoit une fonction homographique définie sur , on se propose de chercher les limites de aux bornes de son ensemble de définition :
- en :
- en : .
Le calcul du signe de cet infini est à traiter au cas par cas.
On doit donc calculer la limite en de f au cas par cas :
Il faut donc chercher le signe de aux alentours de :
Or, Or,
Donc, . En posant , on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de .
1°cas :
Si et sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas :
- Si , alors, sur et est négatif et , et
- Si , alors, sur et est négatif et , et
2° cas :
Si et sont de signes différents, alors est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :
- Si , alors, sur et est positif et , et
- Si , alors, sur et est positif et , et
Limites d'une fonction homographique
modifierSoit , une fonction homographique définie sur , alors :
- Si et sont de même signe :
, et , si
, et , si
- Si et sont de signes différents :
, et , si
, et , si
Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.