Fonctions homographiques/Exercices/Résistances

Deux conducteurs ohmiques de résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ (en ohms) sont branchés en parallèle.

La résistance équivalente est de 10 ohms

(ce qui signifie que l’on peut remplacer ces deux conducteurs par une seul de résistance 10 ohms).

Les lois de l'électricité donnent :

${\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}=0{,}1$.

1. Exprimer $R_{2}$ en fonction de $R_{1}$.

2. Soit $f$ la fonction qui à $R_{1}$ associe $R_{2}$.

a. Quelle est la nature de la fonction $f$ ?

b. Représenter graphiquement la fonction $f$ sur une calculatrice. Donner un compte rendu de tracé. Préciser la fenêtre de tracé utilisée ($x_{min},\quad x_{max},\quad y_{min},\quad y_{max}$).

c. Préciser les asymptotes de la courbe.

3.

a. Résoudre graphiquement $f(x)=50$. Préciser la fenêtre de tracé utilisée ($x_{min},\quad x_{max},\quad y_{min},\quad y_{max}$).

b. Résoudre par le calcul $f(x)=50$.

c. Interpréter physiquement ce résultat.

Solution

1. $R_{2}={\frac {1}{0{,}1-{\frac {1}{R_{1}}}}}={\frac {R_{1}}{0{,}1R_{1}-1}}$.

2.

a. $f(x)={\frac {x}{0{,}1x-1}}$ donc $f$ est une fonction homographique.

b. Graphique Google ($x_{min}=-10,\quad x_{max}=30,\quad y_{min}=-40,\quad y_{max}=60$).

c. Les asymptotes sont les deux droites d'équations $x=10$ et $y=10$.

3.

a. $x=12{,}5$ ($x_{min}=10,\quad x_{max}=15,\quad y_{min}=40,\quad y_{max}=60$).

b. ${\frac {x}{0{,}1x-1}}=50\Leftrightarrow x=5x-50\Leftrightarrow x={\frac {50}{4}}=12{,}5$ ou plus simplement (puisqu'on a évidemment $f(R_{1})=R_{2}\Leftrightarrow f(R_{2})=R_{1}$) : $f(x)=50\Leftrightarrow x=f(50)={\frac {50}{5-1}}=12{,}5$.

c. Pour que la résistance équivalente soit de 10 ohms, si l'une des deux résistances vaut 50 ohms, il faut que l'autre soit de 12,5 ohms.