Fonctions trigonométriques/Étude de la fonction cosinus

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Dans ce chapitre, nous allons étudier la fonction cosinus en détail de façon à pouvoir préciser son tracé. Le point important de ce chapitre est l'établissement de la dérivée de la fonction cosinus dont il conviendra de bien retenir le résultat.

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Établissement du domaine d'étude

Les chapitres précédents nous ont déjà appris que la fonction cosinus est définie sur $\mathbb {R}$ et qu'elle est continue.

Nous rappelons qu'une fonction $f$ est périodique et de période $T$ si :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x+T)=f(x)$.

Or nous savons que :

$\cos(x+2\pi )=\cos x$.

Nous en déduisons, de façon immédiate, que la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.

Nous pouvons donc étudier la fonction cosinus sur un intervalle de largeur $2\pi$.

Nous pouvons, par exemple, prendre l'intervalle $[0,2\pi ]$.

Mais ce choix n'est pas très astucieux, pourquoi ?

Tout simplement parce la fonction cosinus vérifie la relation :

$\cos(-x)=\cos x$,

qui nous montre que la fonction cosinus est une fonction paire. C'est-à-dire que sa courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Par conséquent, au lieu de choisir l'intervalle $[0,2\pi ]$, nous choisirons plutôt l'intervalle $[-\pi ,\pi ]$ que nous couperons ensuite en deux pour exploiter la parité de la fonction cosinus.

Il nous restera donc, comme intervalle d'étude, seulement l'intervalle $[0,\pi ]$.

En considérant d'autres symétries, on pourrait aller plus loin dans la découpe de l'intervalle d'étude, mais nous en resterons là pour le moment (nous étudierons cela dans un chapitre ultérieur).

En résumé, nous commencerons par étudier le tracé de la fonction cosinus dans l'intervalle $[0,\pi ]$. En considérant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, nous en déduirons le tracé dans l'intervalle $[-\pi ,\pi ]$. En considérant ensuite la périodicité, nous en déduirons la totalité du tracé sur $\mathbb {R}$.

Dérivée de la fonction cosinus

Rappelons que le sens de variation d'une fonction est obtenu simplement par l'étude du signe de sa dérivée : la fonction est croissante si sa dérivée est positive et décroissante si sa dérivée est négative.

Début d’un théorème

Dérivée de la fonction cosinus

La fonction $\cos$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et sa dérivée est :

$\cos '=-\sin$.

Fin du théorème

Démonstration

La définition générale de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est :

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Appliquons-la à $f=\cos$.

${\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}={\frac {\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}}=-\cos x{\frac {1-\cos h}{h^{2}}}h-\sin x{\frac {\sin h}{h}}$

donc (d'après les propriétés 1 et 2 du chapitre 2)

$\cos 'x=-\cos x\times {\frac {1}{2}}\times 0-\sin x\times 1=-\sin x$.

 

Sens de variation de la fonction cosinus

Au paragraphe précédent, nous avons calculé la dérivée de la fonction cosinus : $\cos '=-\sin$.

Nous pouvons donc connaître le sens de variation de la fonction cosinus en étudiant le signe de la fonction « moins sinus ». Nous savons que la fonction sinus est donnée par l'ordonnée du point $M$, se trouvant sur le cercle trigonométrique, dont l'abscisse curviligne est $x$.

Nous remarquons que lorsque $x$ est compris entre $0$ et $\pi$, l'ordonnée du point $M$ est positive et par conséquent la fonction « moins sinus » est négative, ce qui prouve que la fonction cosinus est décroissante sur $\left[0,\pi \right]$.

Nous pouvons résumer cela dans le tableau de variations :

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&\pi \\\hline \cos 'x&&-&\\\hline &1&&\\\cos x&&\searrow &\\&&&-1\\\hline \end{array}}$

Compte tenu de la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et de la périodicité, nous en déduisons la courbe représentative de la fonction cosinus que l'on peut représenter ainsi :

le tracé se prolongeant indéfiniment sur $\mathbb {R}$.