Fonctions trigonométriques/Étude de la fonction tangente

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Dans ce chapitre, nous allons étudier la fonction tangente en détail de façon à pouvoir préciser son tracé. Le point important de ce chapitre est l'établissement de la dérivée de la fonction tangente dont il conviendra de bien retenir le résultat.

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Établissement du domaine d'étude

Les chapitres précédents nous ont déjà appris que la fonction tangente est définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$ et qu'elle est continue.

Rappelons qu'une fonction $f$ est périodique et de période $T$ si :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x+T)=f(x)$.

Nous avons comme dans les chapitres précédents :

$\tan(x+2\pi )=\tan x$

autrement dit : la fonction tangente est périodique de période $2\pi$.

Mais nous avons mieux que cela ! En effet, nous remarquons que :

$\tan(x+\pi )={\frac {\sin(x+\pi )}{\cos(x+\pi )}}={\frac {-\sin x}{-\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos x}}=\tan x$.

Nous pouvons donc étudier la fonction tangente sur un intervalle de largeur $\pi$.

Nous pourrions, par exemple, prendre le domaine $[0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}$.

Mais ce choix n'est pas très astucieux, pourquoi ?

Tout simplement parce la fonction tangente vérifie la relation :

$\tan(-x)=-\tan x$,

qui nous montre que la fonction tangente est impaire, c'est-à-dire que sa courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Par conséquent, au lieu de choisir $[0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}$ comme domaine d'étude, nous choisirons plutôt l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, que nous couperons ensuite en deux pour exploiter l'imparité de la fonction tangente.

Il nous restera donc, comme intervalle d'étude, seulement l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$.

En résumé, nous commencerons par étudier le tracé de la fonction tangente dans l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$. En considérant la symétrie par rapport à l'origine, nous en déduirons le tracé dans l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$. En considérant ensuite la périodicité, nous en déduirons la totalité du tracé sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Dérivée de la fonction tangente

Rappelons que le sens de variation d'une fonction est obtenu simplement par l'étude du signe de sa dérivée : la fonction est croissante si sa dérivée est positive et décroissante si sa dérivée est négative.

Début d’un théorème

Dérivée de la fonction tangente (première version)

La fonction $\tan$ est dérivable sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$ et sa dérivée est :

$\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Nous pourrions obtenir rapidement la dérivée de la fonction tangente en dérivant simplement le rapport ${\frac {\sin x}{\cos x}}$ (nous invitons le lecteur à le faire), mais nous avons préféré faire comme si l'on ne connaissait pas encore les dérivées des fonctions sinus et cosinus.

La définition générale de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est :

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Appliquons-la à $f=\tan$. En utilisant l'une des formules de Simpson :

$\tan a-\tan b={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}$,

nous obtenons :

${\frac {\tan(x+h)-\tan x}{h}}={\frac {\sin h}{h\cos(x+h)\cos x}}={\frac {\sin h}{h}}\times {\frac {1}{\cos(x+h)\cos x}}$.

Par continuité de la fonction cosinus, et d'après la propriété 1 du chapitre 2, nous en déduisons :

$\tan 'x=1\times {\frac {1}{\cos(x+0)\cos x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.

 

Nous remarquons que :

$\tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$.

Nous avons donc aussi :

Début d’un théorème

Dérivée de la fonction tangente (deuxième version)

La dérivée de $\tan$ est :

$\tan '=1+\tan ^{2}$.

Fin du théorème

Sens de variation de la fonction tangente

Au paragraphe précédent, nous avons calculé la dérivée de la fonction tangente : $\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}$. Cette dérivée est donc positive et la fonction tangente est donc croissante sur $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$. Nous pouvons résumer cela dans le tableau de variations :

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline \tan 'x&&+&\\\hline &&&+\infty \\\tan x&&\nearrow &\\&0&&\\\hline \end{array}}$

Compte tenu de la symétrie par rapport à l'origine et de la périodicité, nous en déduisons la courbe représentative de la fonction tangente, que l'on peut représenter ainsi :

le tracé se prolongeant indéfiniment sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$.