Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 1

Exercice 4-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\cos x+\sin x$

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)={\sqrt {2}}\sin(x+\pi /4)$ se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

 

Exercice 4-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sin ^{2}x+\sin 2x$.

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)=\sin 2x+{\frac {1-\cos 2x}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\left(\sin 2x{\frac {2}{\sqrt {5}}}-\cos 2x{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\sin(2x-\theta )$, où $\theta =\arccos {\frac {2}{\sqrt {5}}}$, se déduisent immédiatement de celle de $\sin$.

 

Exercice 4-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {\tan 3x}{\tan ^{3}x}}={\frac {3-\tan ^{2}x}{(1-3\tan ^{2}x)\tan ^{2}x}}$.

Solution

$f$ est $\pi$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[\setminus \left\{{\frac {\pi }{6}}\right\}$.

$f(x)=g(\tan ^{2}x)$ avec $g(y):={\frac {y-3}{3y^{2}-y}}$, $(3y^{2}-y)^{2}g'(y)=3y^{2}-y-(y-3)(6y-1)=-3(y^{2}-6y+1)$ s'annule pour $y_{\pm }:=3\pm {\sqrt {8}}$ donc $f$ a un extremum local en $x_{\pm }:=\arctan {\sqrt {y_{\pm }}}$.

${\begin{array}{c|ccccccccccc|}x&0&&&x_{-}&&&{\frac {\pi }{6}}&&&x_{+}&&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &\|&+\infty &&&&+\infty &\|&&&&&&\|\\&\|&&\searrow &&\nearrow &&\|&&&&&&\|\\&\|&&&g(y_{-})&&&\|&&&&&&\|\\f(x)&\|&&&&&&\|&&&g(y_{+})&&&\|\\&\|&&&&&&\|&&&&\searrow &&\|\\&\|&&&&&&\|&&\nearrow &&&0^{+}&\|\\&\|&&&&&&\|&-\infty &&&&&\|\\\hline \end{array}}$

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Exercice 4-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {1}{\sin x}}+{\frac {1}{\cos x}}$.

Solution

$f(x+\pi )=-f(x)$ et $f(\pi /2-x)=f(x)$ donc il suffit d'étudier $f$ sur $[-\pi /4,\pi /4]\setminus \{0\}$.

Sur ce domaine, $f'={\frac {\sin ^{3}-\cos ^{3}}{\sin ^{2}\cos ^{2}}}<0$.

$f(-\pi /4)=0,\quad \lim _{0^{\pm }}f=\pm \infty ,\quad f(\pi /4)=2{\sqrt {2}}$.

Tracé sur Google