Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 2

Exercice 5-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{3}x$.

Solution

$f$ est $2\pi$-périodique et paire donc il suffit de l'étudier sur $[0,\pi ]$.

$f(x)=g(\cos x)$ avec $g(y):=1-y^{2}+y^{3}$, à étudier sur $[-1,1]$.

$g'(y)=y(3y-2)$ change de signe en $0$ et en ${\frac {2}{3}}$. Soit $\theta :=\arccos {\frac {2}{3}}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&\theta &&{\frac {\pi }{2}}&&\pi \\\hline &1&&&&1&&\\&&\searrow &&\nearrow &&\\f(x)&&&{\frac {23}{27}}&&&\searrow &\\&&&&&&&-1\\\hline \end{array}}$

Tracé sur Google

 

Exercice 5-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left({\frac {1-2\sin x}{1+2\sin x}}\right)^{2}$.

Solution

$f$ est une fonction de $\sin x$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\setminus \left\{-{\frac {\pi }{6}}\right\}$.

$f'(x)$ est du signe de $\left(\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\right)\cos x$.

${\begin{array}{c|ccccccccc|}x&-{\frac {\pi }{2}}&&&-{\frac {\pi }{6}}&&&{\frac {\pi }{6}}&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &&&+\infty &\|&+\infty &&&&\\&&\nearrow &&\|&&&&&\\&9&&&\|&&&&&\\&&&&\|&&\searrow &&&{\frac {1}{9}}\\&&&&\|&&&&\nearrow &\\&&&&\|&&&0&&\\\hline \end{array}}$

Tracé Google

 

Exercice 5-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {\cos 2x}{\sin x}}$.

Solution

$f:x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}-2\sin x$ est une fonction impaire de $\sin x$ donc il suffit de l'étudier sur $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Sur cet intervalle, elle est décroissante car $\sin$ est positive et croissante.

$\lim _{0^{+}}f=+\infty$ et $f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-1$.

Tracé sur Google

 

Exercice 5-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {{\sqrt {2}}\cos x-1}{1-2\cos x}}$.

Solution

$f$ est paire et $2\pi$-périodique donc il suffit de l'étudier sur $[0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{3}}\right\}$.

Sur ce domaine, $f'>0$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&&{\frac {\pi }{3}}&&&\pi \\\hline &&&+\infty &\|&&&\\&&\nearrow &&\|&&&\\f(x)&1-{\sqrt {2}}&&&\|&&&\\&&&&\|&&&-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{3}}\\&&&&\|&&\nearrow &\\&&&&\|&-\infty &&\\\hline \end{array}}$

Tracé sur Google