Fonctions trigonométriques/Exercices/Étude de fonctions 4

Exercice 7-1

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {\cos 3x}{1+\cos 2x}}$.

Solution

$f$ est paire et $f(x+\pi )=-f(x)$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Sur cet intervalle, $\cos$ est positive et décroissante donc $f=2\cos -{\frac {3}{2\cos }}$ est décroissante.

$f(0)={\frac {1}{2}}$ et $\lim _{{\frac {\pi }{2}}^{-}}f=-\infty$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-2

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=6\sin x-3\cos 2x+2\sin 3x$.

Solution

$f$ est $2\pi$-périodique et $f(\pi -x)=f(x)$ donc il suffit de l'étudier sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

$f(x)=g(\sin x)$ avec $g(s)=6s-3(1-2s^{2})+2(3s-4s^{3})=-8s^{3}+6s^{2}+12s-3$.

$g'(s)=-12\left(s-1\right)\left(s+{\frac {1}{2}}\right)$ et sur l'intervalle d'étude, $\sin '=\cos$ est positive, donc $f'$ est du signe de $\sin x+{\frac {1}{2}}$. $f$ est donc décroissante sur $\left[-{\frac {\pi }{2}},-{\frac {\pi }{6}}\right]$ et croissante sur $\left[-{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{2}}\right]$.

$f\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=g(-1)=-1$, $f\left(-{\frac {\pi }{6}}\right)=g\left(-{\frac {1}{2}}\right)=-6{,}5$ et $f\left({\frac {\pi }{2}}\right)=g(1)=7$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-3

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}$.

Solution

Les variations et la courbe de $f(x)=-\tan \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)$ se déduisent de celles de $\tan$. Tracé sur Google

 

Exercice 7-4

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)={\frac {1}{1+\cos 2x}}-\tan x$.

Solution

$f(x)=g(\tan x)$ avec $g(t)={\frac {(t-1)^{2}}{2}}$ donc il suffit d'étudier $f$ sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

$g'(t)=t-1$ donc $f$ est décroissante sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{4}}\right]$ et croissante sur $\left[{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{2}}\right[$.

$\lim _{-{\frac {\pi }{2}}^{+}}f=\lim _{{\frac {\pi }{2}}^{-}}f=+\infty$ et $f\left({\frac {\pi }{4}}\right)=g(1)=0$.

Tracé sur Google

 

Exercice 7-5

Étudier et tracer la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln \cos x$.

Solution

$f$ est définie sur $\left]-\pi /2,\pi /2\right[+2\pi \mathbb {Z}$ et elle est $2\pi$-périodique et paire, donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,\pi /2\right[$. Sur cet intervalle, $\cos$ est décroissante donc $f$ aussi (par croissance de $\ln$). $f(0)=0$ et $\lim _{(\pi /2)^{-}}f=-\infty$.

Tracé sur Google