Fonctions trigonométriques/Exercices/Résolution d'équations

Exercice 8-1

Résoudre l'équation :

$\sin x=\sin \left(\pi -3x\right)$.

Solution

$x\equiv \pi -3x{\text{ ou }}3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}0\mod \pi$.

 

Exercice 8-2

Résoudre l'équation :

$\tan x=2\sin x$.

Solution

$\sin x=0{\text{ ou }}\cos x={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{3}}\mod 2\pi$.

 

Exercice 8-3

Résoudre et discuter, selon la valeur de $m$, l'équation :

$m\cos x+\sin x+3m-1=0$.

Solution

Voir Trigonométrie/Équations et inéquations trigonométriques#Cas général : cette équation a des solutions si et seulement si $\left(3m-1\right)^{2}\leq m^{2}+1$, c'est-à-dire $0\leq m\leq {\frac {3}{4}}$ et dans ce cas, les solutions sont $\arccos {\frac {m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\pm \arccos {\frac {1-3m}{\sqrt {m^{2}+1}}}\mod 2\pi$.

 

Exercice 8-4

Résoudre l'équation :

${\sqrt {1+{\frac {\sin x}{2}}}}=\cos x$.

Solution

$\cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=2\left(\cos ^{2}x-1\right)\Leftrightarrow \cos x\geq 0{\text{ et }}\sin x=0{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{6}}\mod 2\pi$.

 

Exercice 8-5

Résoudre l'équation :

$\tan x\tan 5x=1$.

Solution

$5x\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}$.

 

Exercice 8-6

Résoudre l'équation suivante :

$3\tan x\tan 3x+1=0$

Aide

On transformera le premier membre de façon à poser $y=\cos 2x$.

Solution

$\tan x\tan 3x=\tan ^{2}x\,{\frac {\cos 2x+2\cos ^{2}x}{\cos 2x-2\sin ^{2}x}}={\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}$ pour $y=\cos 2x$.

${\frac {1-y}{1+y}}\,{\frac {2y+1}{2y-1}}=-{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow y={\frac {1\pm {\sqrt {3}}}{2}}$.

Les solutions sont donc $x=\pm {\frac {1}{2}}\arccos {\frac {1-{\sqrt {3}}}{2}}\mod \pi$.

 

Exercice 8-7

Résoudre l'équation :

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x-1}{\tan x+1}}$.

Solution

$t={\frac {{\frac {2t}{1-t^{2}}}-1}{{\frac {2t}{1-t^{2}}}+1}}\Leftrightarrow t=1$ donc il n'y a pas de solution, car si ${\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod \pi$ alors $\tan x$ n'est pas défini.

 

Exercice 8-8

Résoudre l'équation :

$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x$.

Solution

Soit $S=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Alors,

$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{2}-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x=1-{\frac {S^{2}}{2}}$

donc

$\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow S^{2}+2S-2=0\Leftrightarrow S=-1+{\sqrt {3}}$

et les solutions sont

$x\equiv {\frac {\alpha }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi -\alpha }{2}}\mod \pi$, avec $\alpha =\arcsin \left(-1+{\sqrt {3}}\right)$.

 

Les personnes désirant résoudre plus d'équations trigonométriques peuvent consulter les pages : Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1 Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2 Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3