En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calcul de dérivéesFonctions trigonométriques/Exercices/Calcul de dérivées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
sin
6
x
{\displaystyle \sin 6x}
;
2°
cos
5
x
{\displaystyle \cos 5x}
;
3°
cot
2
x
{\displaystyle \cot 2x}
;
4°
tan
x
2
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
sin
x
{\displaystyle \sin {\sqrt {x}}}
;
2°
sin
2
x
{\displaystyle {\sqrt {\sin 2x}}}
;
3°
tan
2
x
{\displaystyle \tan ^{2}x}
;
4°
cos
2
x
2
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {x}{2}}}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
sin
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}x}
;
2°
−
cos
2
x
{\displaystyle -\cos ^{2}x}
;
3°
tan
x
+
cot
x
{\displaystyle \tan x+\cot x}
;
4°
sin
x
(
sin
x
−
cos
x
)
{\displaystyle \sin x\left(\sin x-\cos x\right)}
.
Solution
1°
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
{\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x}
.
2°
−
2
cos
x
(
−
sin
x
)
=
sin
2
x
{\displaystyle -2\cos x\left(-\sin x\right)=\sin 2x}
.
3°
(
1
−
1
tan
2
x
)
(
1
+
tan
2
x
)
=
tan
2
x
−
1
tan
2
x
{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}\right)\left(1+\tan ^{2}x\right)=\tan ^{2}x-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}}
.
4°
cos
x
(
sin
x
−
cos
x
)
+
sin
x
(
cos
x
+
sin
x
)
=
sin
2
x
−
cos
2
x
{\displaystyle \cos x(\sin x-\cos x)+\sin x(\cos x+\sin x)=\sin 2x-\cos 2x}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
4
sin
2
x
−
8
sin
x
+
5
{\displaystyle 4\sin ^{2}x-8\sin x+5}
;
2°
5
cos
2
x
+
5
cos
x
−
9
{\displaystyle 5\cos ^{2}x+5\cos x-9}
;
3°
cos
2
x
−
sin
x
cos
x
+
1
{\displaystyle \cos ^{2}x-\sin x\cos x+1}
;
4°
sin
2
x
+
sin
x
+
cos
x
{\displaystyle \sin 2x+\sin x+\cos x}
;
5°
cos
2
x
−
3
cos
x
−
2
{\displaystyle \cos 2x-3\cos x-2}
.
Solution
1°
4
×
2
sin
x
cos
x
−
8
cos
x
=
8
cos
x
(
sin
x
−
1
)
{\displaystyle 4\times 2\sin x\cos x-8\cos x=8\cos x\left(\sin x-1\right)}
.
2°
5
×
2
cos
x
(
−
sin
x
)
−
5
sin
x
=
−
5
sin
x
(
2
cos
x
+
1
)
{\displaystyle 5\times 2\cos x(-\sin x)-5\sin x=-5\sin x\left(2\cos x+1\right)}
.
3°
−
2
cos
x
sin
x
−
cos
2
x
+
sin
2
x
=
−
sin
2
x
−
cos
2
x
{\displaystyle -2\cos x\sin x-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=-\sin 2x-\cos 2x}
.
4°
2
cos
2
x
+
cos
x
−
sin
x
{\displaystyle 2\cos 2x+\cos x-\sin x}
.
5°
−
2
sin
2
x
+
3
sin
x
=
sin
x
(
−
4
cos
x
+
3
)
{\displaystyle -2\sin 2x+3\sin x=\sin x\left(-4\cos x+3\right)}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
2
1
+
cos
x
{\displaystyle {\frac {2}{1+\cos x}}}
;
2°
sin
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{1+\tan 2x}}}
;
3°
cos
x
1
+
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {\cos x}{1+\cos ^{2}x}}}
;
4°
tan
2
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {\tan 2x}{\tan x}}}
.
Solution
1°
−
2
(
1
+
cos
x
)
2
(
−
sin
x
)
=
2
sin
x
(
1
+
cos
x
)
2
{\displaystyle {\frac {-2}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}\left(-\sin x\right)={\frac {2\sin x}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}}
.
2°
cos
x
(
1
+
tan
2
x
)
−
2
sin
x
(
1
+
tan
2
2
x
)
(
1
+
tan
2
x
)
2
{\displaystyle {\frac {\cos x\left(1+\tan 2x\right)-2\sin x\left(1+\tan ^{2}2x\right)}{\left(1+\tan 2x\right)^{2}}}}
.
3°
1
−
cos
2
x
1
+
cos
2
x
(
−
sin
x
)
{\displaystyle {\frac {1-\cos ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\left(-\sin x\right)}
.
4° Si
f
(
x
)
=
tan
2
x
tan
x
=
2
1
−
tan
2
x
{\displaystyle f{(x)}={\frac {\tan 2x}{\tan x}}={\frac {2}{1-\tan ^{2}x}}}
alors
f
′
(
x
)
=
4
tan
x
(
1
−
tan
2
x
)
2
(
1
+
tan
2
x
)
{\displaystyle f'{(x)}={\frac {4\tan x}{\left(1-\tan ^{2}x\right)^{2}}}\left(1+\tan ^{2}x\right)}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
x
−
sin
x
cos
x
{\displaystyle x-\sin x\cos x}
;
2°
cos
x
(
2
+
sin
2
x
)
{\displaystyle \cos x\left(2+\sin ^{2}x\right)}
;
3°
tan
x
+
cot
x
+
1
sin
x
+
1
cos
x
{\displaystyle \tan x+\cot x+{\frac {1}{\sin x}}+{\frac {1}{\cos x}}}
;
4°
cos
x
sin
2
x
+
2
cot
x
{\displaystyle {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}+2\cot x}
.
Solution
1°
1
−
cos
2
x
+
sin
2
x
=
2
sin
2
x
{\displaystyle 1-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=2\sin ^{2}x}
.
2°
−
sin
x
(
2
+
sin
2
x
)
+
cos
x
(
2
sin
x
cos
x
)
=
−
3
sin
3
x
{\displaystyle -\sin x\left(2+\sin ^{2}x\right)+\cos x\left(2\sin x\cos x\right)=-3\sin ^{3}x}
.
3°
tan
2
x
−
cot
2
x
+
sin
3
x
−
cos
3
x
sin
2
x
cos
2
x
{\displaystyle \tan ^{2}x-\cot ^{2}x+{\frac {\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}}}
.
4°
−
sin
3
x
−
2
cos
2
x
sin
x
sin
4
x
−
2
−
2
cot
2
x
{\displaystyle {\frac {-\sin ^{3}x-2\cos ^{2}x\sin x}{\sin ^{4}x}}-2-2\cot ^{2}x}
.
Calculer les dérivées des fonctions et expliquer les résultats :
1°
(
1
+
tan
x
tan
x
2
)
cos
x
{\displaystyle \left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x}
;
2°
sin
6
x
+
cos
6
x
+
3
sin
2
x
cos
2
x
{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x}
.
Solution
1°
(
1
+
tan
x
tan
x
2
)
cos
x
=
cos
x
+
sin
x
tan
x
2
=
cos
x
+
2
sin
2
x
2
=
1
{\displaystyle \left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x=\cos x+\sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x+2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1}
, de dérivée
0
{\displaystyle 0}
.
2°
sin
6
x
+
cos
6
x
+
3
sin
2
x
cos
2
x
=
sin
6
x
+
cos
6
x
+
3
sin
2
x
cos
2
x
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
=
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
3
=
1
{\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{3}=1}
, de dérivée
0
{\displaystyle 0}
.
Calculer les dérivées des fonctions :
1°
sin
x
−
x
cos
x
cos
x
+
x
sin
x
{\displaystyle {\frac {\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}}}
;
2°
cos
x
+
x
sin
x
sin
x
−
x
cos
x
{\displaystyle {\frac {\cos x+x\sin x}{\sin x-x\cos x}}}
;
3°
1
+
sin
x
1
−
sin
x
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}}}
;
4°
2
x
cos
x
+
(
x
2
−
2
)
sin
x
{\displaystyle 2x\cos x+(x^{2}-2)\sin x}
.
Solution
1°
x
sin
x
(
cos
x
+
x
sin
x
)
−
x
cos
x
(
sin
x
−
x
cos
x
)
(
cos
x
+
x
sin
x
)
2
=
x
2
(
cos
x
+
x
sin
x
)
2
{\displaystyle {\frac {x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)-x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}={\frac {x^{2}}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}}
.
2°
x
cos
x
(
sin
x
−
x
cos
x
)
−
x
sin
x
(
cos
x
+
x
sin
x
)
(
sin
x
−
x
cos
x
)
2
=
−
x
2
(
sin
x
−
x
cos
x
)
2
{\displaystyle {\frac {x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)-x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}={\frac {-x^{2}}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}}
.
3°
1
2
1
−
sin
x
1
+
sin
x
2
cos
x
(
1
−
sin
x
)
2
=
cos
x
|
cos
x
|
(
1
−
sin
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1-\sin x}{1+\sin x}}}{\frac {2\cos x}{\left(1-\sin x\right)^{2}}}={\frac {\cos x}{\left|\cos x\right|\left(1-\sin x\right)}}}
.
4°
2
cos
x
−
2
x
sin
x
+
2
x
sin
x
+
(
x
2
−
2
)
cos
x
=
x
2
cos
x
{\displaystyle 2\cos x-2x\sin x+2x\sin x+(x^{2}-2)\cos x=x^{2}\cos x}
.