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Exercice : Calcul de dérivéesFonctions trigonométriques/Exercices/Calcul de dérivées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer les dérivées des fonctions :
1° sin 6 x {\displaystyle \sin 6x} ;
2° cos 5 x {\displaystyle \cos 5x} ;
3° cot 2 x {\displaystyle \cot 2x} ;
4° tan x 2 {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° sin x {\displaystyle \sin {\sqrt {x}}} ;
2° sin 2 x {\displaystyle {\sqrt {\sin 2x}}} ;
3° tan 2 x {\displaystyle \tan ^{2}x} ;
4° cos 2 x 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {x}{2}}} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} ;
2° − cos 2 x {\displaystyle -\cos ^{2}x} ;
3° tan x + cot x {\displaystyle \tan x+\cot x} ;
4° sin x ( sin x − cos x ) {\displaystyle \sin x\left(\sin x-\cos x\right)} .
Solution
1° 2 sin x cos x = sin 2 x {\displaystyle 2\sin x\cos x=\sin 2x} .
2° − 2 cos x ( − sin x ) = sin 2 x {\displaystyle -2\cos x\left(-\sin x\right)=\sin 2x} .
3° ( 1 − 1 tan 2 x ) ( 1 + tan 2 x ) = tan 2 x − 1 tan 2 x {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}\right)\left(1+\tan ^{2}x\right)=\tan ^{2}x-{\frac {1}{\tan ^{2}x}}} .
4° cos x ( sin x − cos x ) + sin x ( cos x + sin x ) = sin 2 x − cos 2 x {\displaystyle \cos x(\sin x-\cos x)+\sin x(\cos x+\sin x)=\sin 2x-\cos 2x} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° 4 sin 2 x − 8 sin x + 5 {\displaystyle 4\sin ^{2}x-8\sin x+5} ;
2° 5 cos 2 x + 5 cos x − 9 {\displaystyle 5\cos ^{2}x+5\cos x-9} ;
3° cos 2 x − sin x cos x + 1 {\displaystyle \cos ^{2}x-\sin x\cos x+1} ;
4° sin 2 x + sin x + cos x {\displaystyle \sin 2x+\sin x+\cos x} ;
5° cos 2 x − 3 cos x − 2 {\displaystyle \cos 2x-3\cos x-2} .
Solution
1° 4 × 2 sin x cos x − 8 cos x = 8 cos x ( sin x − 1 ) {\displaystyle 4\times 2\sin x\cos x-8\cos x=8\cos x\left(\sin x-1\right)} .
2° 5 × 2 cos x ( − sin x ) − 5 sin x = − 5 sin x ( 2 cos x + 1 ) {\displaystyle 5\times 2\cos x(-\sin x)-5\sin x=-5\sin x\left(2\cos x+1\right)} .
3° − 2 cos x sin x − cos 2 x + sin 2 x = − sin 2 x − cos 2 x {\displaystyle -2\cos x\sin x-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=-\sin 2x-\cos 2x} .
4° 2 cos 2 x + cos x − sin x {\displaystyle 2\cos 2x+\cos x-\sin x} .
5° − 2 sin 2 x + 3 sin x = sin x ( − 4 cos x + 3 ) {\displaystyle -2\sin 2x+3\sin x=\sin x\left(-4\cos x+3\right)} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° 2 1 + cos x {\displaystyle {\frac {2}{1+\cos x}}} ;
2° sin x 1 + tan 2 x {\displaystyle {\frac {\sin x}{1+\tan 2x}}} ;
3° cos x 1 + cos 2 x {\displaystyle {\frac {\cos x}{1+\cos ^{2}x}}} ;
4° tan 2 x tan x {\displaystyle {\frac {\tan 2x}{\tan x}}} .
Solution
1° − 2 ( 1 + cos x ) 2 ( − sin x ) = 2 sin x ( 1 + cos x ) 2 {\displaystyle {\frac {-2}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}\left(-\sin x\right)={\frac {2\sin x}{\left(1+\cos x\right)^{2}}}} .
2° cos x ( 1 + tan 2 x ) − 2 sin x ( 1 + tan 2 2 x ) ( 1 + tan 2 x ) 2 {\displaystyle {\frac {\cos x\left(1+\tan 2x\right)-2\sin x\left(1+\tan ^{2}2x\right)}{\left(1+\tan 2x\right)^{2}}}} .
3° 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x ( − sin x ) {\displaystyle {\frac {1-\cos ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}}\left(-\sin x\right)} .
4° Si f ( x ) = tan 2 x tan x = 2 1 − tan 2 x {\displaystyle f{(x)}={\frac {\tan 2x}{\tan x}}={\frac {2}{1-\tan ^{2}x}}} alors f ′ ( x ) = 4 tan x ( 1 − tan 2 x ) 2 ( 1 + tan 2 x ) {\displaystyle f'{(x)}={\frac {4\tan x}{\left(1-\tan ^{2}x\right)^{2}}}\left(1+\tan ^{2}x\right)} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° x − sin x cos x {\displaystyle x-\sin x\cos x} ;
2° cos x ( 2 + sin 2 x ) {\displaystyle \cos x\left(2+\sin ^{2}x\right)} ;
3° tan x + cot x + 1 sin x + 1 cos x {\displaystyle \tan x+\cot x+{\frac {1}{\sin x}}+{\frac {1}{\cos x}}} ;
4° cos x sin 2 x + 2 cot x {\displaystyle {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}+2\cot x} .
Solution
1° 1 − cos 2 x + sin 2 x = 2 sin 2 x {\displaystyle 1-\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=2\sin ^{2}x} .
2° − sin x ( 2 + sin 2 x ) + cos x ( 2 sin x cos x ) = − 3 sin 3 x {\displaystyle -\sin x\left(2+\sin ^{2}x\right)+\cos x\left(2\sin x\cos x\right)=-3\sin ^{3}x} .
3° tan 2 x − cot 2 x + sin 3 x − cos 3 x sin 2 x cos 2 x {\displaystyle \tan ^{2}x-\cot ^{2}x+{\frac {\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}}} .
4° − sin 3 x − 2 cos 2 x sin x sin 4 x − 2 − 2 cot 2 x {\displaystyle {\frac {-\sin ^{3}x-2\cos ^{2}x\sin x}{\sin ^{4}x}}-2-2\cot ^{2}x} .
Calculer les dérivées des fonctions et expliquer les résultats :
1° ( 1 + tan x tan x 2 ) cos x {\displaystyle \left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x} ;
2° sin 6 x + cos 6 x + 3 sin 2 x cos 2 x {\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x} .
Solution
1° ( 1 + tan x tan x 2 ) cos x = cos x + sin x tan x 2 = cos x + 2 sin 2 x 2 = 1 {\displaystyle \left(1+\tan x\tan {\frac {x}{2}}\right)\cos x=\cos x+\sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x+2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1} , de dérivée 0 {\displaystyle 0} .
2° sin 6 x + cos 6 x + 3 sin 2 x cos 2 x = sin 6 x + cos 6 x + 3 sin 2 x cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x ) = ( sin 2 x + cos 2 x ) 3 = 1 {\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x=\sin ^{6}x+\cos ^{6}x+3\sin ^{2}x\cos ^{2}x\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)=\left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)^{3}=1} , de dérivée 0 {\displaystyle 0} .
Calculer les dérivées des fonctions :
1° sin x − x cos x cos x + x sin x {\displaystyle {\frac {\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}}} ;
2° cos x + x sin x sin x − x cos x {\displaystyle {\frac {\cos x+x\sin x}{\sin x-x\cos x}}} ;
3° 1 + sin x 1 − sin x {\displaystyle {\sqrt {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}}} ;
4° 2 x cos x + ( x 2 − 2 ) sin x {\displaystyle 2x\cos x+(x^{2}-2)\sin x} .
Solution
1° x sin x ( cos x + x sin x ) − x cos x ( sin x − x cos x ) ( cos x + x sin x ) 2 = x 2 ( cos x + x sin x ) 2 {\displaystyle {\frac {x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)-x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}={\frac {x^{2}}{\left(\cos x+x\sin x\right)^{2}}}} .
2° x cos x ( sin x − x cos x ) − x sin x ( cos x + x sin x ) ( sin x − x cos x ) 2 = − x 2 ( sin x − x cos x ) 2 {\displaystyle {\frac {x\cos x\left(\sin x-x\cos x\right)-x\sin x\left(\cos x+x\sin x\right)}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}={\frac {-x^{2}}{\left(\sin x-x\cos x\right)^{2}}}} .
3° 1 2 1 − sin x 1 + sin x 2 cos x ( 1 − sin x ) 2 = cos x | cos x | ( 1 − sin x ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1-\sin x}{1+\sin x}}}{\frac {2\cos x}{\left(1-\sin x\right)^{2}}}={\frac {\cos x}{\left|\cos x\right|\left(1-\sin x\right)}}} .
4° 2 cos x − 2 x sin x + 2 x sin x + ( x 2 − 2 ) cos x = x 2 cos x {\displaystyle 2\cos x-2x\sin x+2x\sin x+(x^{2}-2)\cos x=x^{2}\cos x} .