Fonctions trigonométriques/Exercices/Problèmes divers

Exercice 11-1

1°  Étudier la variation de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\cos x-x$.

2°  En déduire le nombre des solutions de l'équation définie dans $\mathbb {R}$ par $\cos x=x$.

3°  On considère la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par :

$u_{n+1}=\cos u_{n}$ et $u_{0}=1$.

Montrer que $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\in [0,1]$, puis majorer $|u_{n+1}-u_{n}|$ par une expression de la forme $M|u_{n}-u_{n-1}|$ avec $M<1$.

En déduire que la suite $(u_{n})$ converge vers la solution de l'équation définie au 2°.

4°  Donner un encadrement de cette solution.

5°  Interpréter graphiquement la formation de la suite $(u_{n})$ en utilisant les courbes d'équations respectives $y=x$ et $y=\cos x$.

6°  Donner une valeur approchée à 10^–2 près de la solution de l'équation définie au 2°.

Solution

1°  $\lim _{-\infty }f=+\infty$ et $\lim _{+\infty }f=-\infty$. $f'(x)=-\sin x-1$ est négative et ne s'annule que pour $x\in -{\frac {\pi }{2}}+2\pi \mathbb {Z}$ donc $f$ est strictement décroissante.

2°  $f$ s'annule au moins une fois (d'après le théorème des valeurs intermédiaires) et une seule (puisqu'elle est injective).

3°  $\cos([0,1])\subset \cos([0,\pi /2])=[0,1]$ donc $u_{n}$ reste dans $[0,1]$. D'après le théorème des accroissements finis, $|u_{n+1}-u_{n}|\leq M|u_{n}-u_{n-1}|$ pour $M:=\max _{[0,1]}|\cos '|=\sin 1<1$. Par conséquent, $(u_{n})$ converge et sa limite $x$ vérifie $\cos x=x$.

4°  $0\leq x\leq 1$.

5°  On trace de proche en proche les segments suivants. La droite $x=u_{0}$ coupe le graphe de $\cos$ au point $(u_{0},u_{1})$. La droite $y=u_{1}$ coupe la droite $y=x$ au point $(u_{1},u_{1})$. La droite $x=u_{1}$ coupe le graphe de $\cos$ au point $(u_{1},u_{2})$, etc. On voit se dessiner un « escargot anguleux » et $u_{n}$ est alternativement inférieur et supérieur à sa limite.

6°  $u_{9}\approx 0{,}731$ et $u_{10}\approx 0{,}744$ donc $x\approx 0{,}74$.

 

Exercice 11-2

On donne :

${\begin{cases}\tan x={\sqrt {2}}-1\\\tan y={\sqrt {2}}+1.\end{cases}}$

1°  Calculer $\tan 2x$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation définie dans $\mathbb {R}$ par :

$\tan x={\sqrt {2}}-1$.

2°  Calculer $\tan(y-x)$. En déduire l'ensemble des solutions de l’équation définie dans $\mathbb {R}$ par :

$\tan y={\sqrt {2}}+1$.

Solution

1°  $\tan 2x={\frac {2({\sqrt {2}}-1)}{1-\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}}}=1$ et $\tan x>0$. L'ensemble des solutions de $\tan x={\sqrt {2}}-1$ est donc ${\frac {\pi }{8}}+\pi \mathbb {Z}$.

2°  $\tan(y-x)={\frac {{\sqrt {2}}+1-\left({\sqrt {2}}-1\right)}{1+\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {2}}-1\right)}}=1$. L'ensemble des solutions de $\tan y={\sqrt {2}}+1$ est donc ${\frac {3\pi }{8}}+\pi \mathbb {Z}$.

 

Exercice 11-3

Soient $x,y\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ définis par

${\begin{cases}\tan x={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\\tan y={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.\end{cases}}$

Prouvez que $x+y={\frac {\pi }{2}}$.

Solution

$\tan x\tan y={\frac {\left({\sqrt {5}}+1\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}}=1$ donc $x+y={\frac {\pi }{2}}$.