Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le quadri-potentiel et le Lagrangien
Le quadri-vecteur potentiel
modifierLe champ dérive du potentiel selon :
On postule que ces potentiels constituent les composantes d'un quadri-vecteur
Le Lagrangien électromagnétique
modifierEn relativité restreinte, l'action d'une particule libre est , où est l'intervalle élémentaire.
En présence d'un champ électromagnétique, si la particule est chargée, il faut lui ajouter un terme d'interaction
Pour que les équations du mouvement soient invariantes par changement de référentiel galiléen (conformément au principe de relativité), il faut que l'action soit invariante sous une transformation de Lorentz. D'autre part, le terme d'interaction doit faire intervenir le quadri-vecteur potentiel, l'invariant relativiste le plus simple que l’on puisse trouver est donc le pseudo-produit scalaire du quadri-potentiel par la quadri-vitesse . On postule donc que l'action s'écrit . Cette action doit aussi dépendre de la charge de la particule considérée, pour des raisons de dimension on a donc :
On a donc
Et on en déduit le Lagrangien