Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Équations du mouvement

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La donnée du Lagrangien de la particule plongée dans le champ permet de déterminer son impulsion,son énergie, et l'équation de son mouvement.

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Impulsion généralisée

Par définition, $\mathbf {P} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}$

d'où, après calcul,

$\mathbf {P} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} =\mathbf {p} +q\mathbf {A}$

avec $\mathbf {p}$ l'impulsion relativiste de la particule (partie spatiale de la quadri-impulsion).

Énergie

Par définition, $E=\mathbf {P} \cdot \mathbf {v} -{\mathcal {L}}$

d'où, après calcul :

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\phi$

Équation du mouvement

Il s'agit de l'équation de Lagrange :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=\mathbf {0}$

On a d’une part ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}+q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A}$

Et d’autre part ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=q{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )-q{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {r} }}$

or ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )$

d'où ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} }}=q[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {A} +\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )]-q\mathbf {\nabla } \phi$

et l'équation du mouvement est donc :

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q\mathbf {\nabla } \phi -q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q\mathbf {v} \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )=q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$

On retrouve bien l’expression de la force de Lorentz $\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B}$