Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le tenseur champ électromagnétique

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Nouvelle forme des équations du mouvement

On peut exprimer l'équation du mouvement sous une autre forme en écrivant directement la stationnarité de l'action :

$\delta S=\delta \left(\int _{a}^{b}(-mc~ds-q{\tilde {A}}\cdot d{\tilde {x}})\right)=\int _{a}^{b}\left[mc~a_{\mu }+q\left({\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right)u^{\nu }\right]\delta x^{\mu }~ds=0$

où ${\tilde {u}}={\frac {d{\tilde {x}}}{ds}}$ est la quadri-vitesse et ${\tilde {a}}={\frac {d{\tilde {u}}}{ds}}$ est la quadri-accélération.

Démonstration

$\delta S=\delta \left(\int _{a}^{b}(-mc~ds-q{\tilde {A}}\cdot d{\tilde {x}})\right)=\int _{a}^{b}(-mc~\delta (ds)-q~\delta ({\tilde {A}}\cdot d{\tilde {x}}))$

Avec $\delta (ds)=\delta ({\sqrt {d{\tilde {x}}\cdot d{\tilde {x}}}})=\delta ({\sqrt {dx^{\mu }dx_{\mu }}})={\frac {dx_{\mu }\delta (dx^{\mu })}{ds}}=u_{\mu }d(\delta x^{\mu })$

et $\delta ({\tilde {A}}\cdot d{\tilde {x}})=\delta (A_{\mu })dx^{\mu }+A_{\mu }d(\delta x^{\mu })$

On a

$\delta S=\int _{a}^{b}(-mc~u_{\mu }-qA_{\mu })d(\delta x^{\mu })+\int _{a}^{b}-q\delta (A_{\mu })dx^{\mu }$

La première intégrale s'intègre par parties (comme dans la démonstration générale des équations d'Euler-Lagrange) :

$\int _{a}^{b}(-mc~u_{\mu }-qA_{\mu })d(\delta x^{\mu })=\int _{a}^{b}(mc~du_{\mu }+q~dA_{\mu })\delta x^{\mu }-\left[(mc~u_{\mu }+qA_{\mu })\delta x^{\mu }\right]_{a}^{b}$

et, comme $\delta x^{\mu }(a)=\delta x^{\mu }(b)=0~$, le terme intégré est nul.

On a ainsi :

${\begin{aligned}\delta S&=\int _{a}^{b}(mc~du_{\mu }+q~dA_{\mu })\delta x^{\mu }-q~\delta (A_{\mu })dx^{\mu }\\&=\int _{a}^{b}(mc~du_{\mu }+q~{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}dx^{\nu })\delta x^{\mu }-q~{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\delta x^{\nu }dx^{\mu }\\&=\int _{a}^{b}\left[mc~du_{\mu }+q\left({\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right)dx^{\nu }\right]\delta x^{\mu }\\\end{aligned}}$

car en échangeant les indices muets, ${\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\delta x^{\nu }dx^{\mu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }dx^{\nu }$.

On obtient la forme finale de $\delta S~$ est factorisant $ds~$ :

$\delta S=\int _{a}^{b}\left[mc~a_{\mu }+q\left({\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right)u^{\nu }\right]\delta x^{\mu }~ds$

 

La relation $\delta S=0~$ est vérifiée quelle que soit la trajectoire $\delta {\tilde {x}}~$ si le terme entre crochet est nul, c'est-à-dire si :

$mc~a_{\mu }=-q\left({\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\right)u^{\nu }$

On introduit alors le tenseur $F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}$

et l'équation du mouvement s'écrit

$mc~a_{\mu }=q~F_{\mu \nu }~u^{\nu }$

Expression du tenseur $F_{\mu \nu }~$

Le tenseur $F_{\mu \nu }~$ est antisymétrique par définition, il y a donc 6 composantes à calculer. En utilisant la définition de ${\tilde {A}}~$ et les relations

$\mathbf {E} =-\mathbf {grad} ~\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\mathbf {B} =\mathbf {rot} ~\mathbf {A}$

on trouve l’expression du tenseur :

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{y}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}$