Formule d'inversion de Pascal/Exercices/Dénombrement des surjections

De combien de façons peut-on ranger 13 livres sur 9 étagères en laissant exactement 5 étagères libres ?

Solution

Il y a ${\binom {9}{4}}$ façon de choisir les 4 étagères qui doivent recevoir des livres. Ranger les 13 livres sur ces 4 étagères revient à associer à chacun des 13 livres l'une des 4 étagères de façon surjective (c’est-à-dire de telle façon que chacune des 4 étagères reçoive au moins un livre). Il y a donc $S_{13,4}$ façons de faire cette association. La réponse au problème est donc :

${\binom {9}{4}}\times S_{13,4}={\frac {9!}{4!5!}}\times \sum _{k=0}^{4}(-1)^{4-k}{\binom {4}{k}}k^{13}=126\times 60780720=7658370720$.