Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fraction : Division Fraction/Division », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Inverse d’une fraction
modifier
Exemple : Calculer 2 3 × 3 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}}
Solution
2 3 × 3 2 = 2 × 3 3 × 2 = ⧸ 2 × 3 3 × ⧸ 2 = 3 3 = 1 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {2\times 3}{3\times 2}}={\frac {\not 2\times 3}{3\times \not 2}}={\frac {3}{3}}=1}
Définition
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit est égal à 1.
2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} est donc l'inverse de 3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}}
3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}} est donc l'inverse de 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}}
Pour trouver l'inverse d’une fraction, il suffit donc d'échanger son numérateur et son dénominateur.
Début d’un théorème
Théorème : inverse d’une fraction
L'inverse de la fraction a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} est la fraction b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}}
Fin du théorème
Faites des exercices pour apprendre à calculer des inverses
modifier
Division de fractions
modifier
L'inverse de 4 est 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}
Calculons :
3 × 1 4 = 3 × 1 4 = 3 4 {\displaystyle 3\times {\frac {1}{4}}={\frac {3\times 1}{4}}={\frac {3}{4}}}
Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
modifier
Début d’un théorème
Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
a b = a × 1 b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}
Fin du théorème
Exercice: division de deux fractions
modifier
Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème :
4 5 7 8 {\displaystyle {\frac {4}{5}} \over {\frac {7}{8}}}
Solution
4 5 7 8 = 4 5 × 8 7 = 4 × 8 5 × 7 = 32 35 {\displaystyle {\frac {\frac {4}{5}}{\frac {7}{8}}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {8}{7}}={\frac {4\times 8}{5\times 7}}={\frac {32}{35}}}
Que penser de la règle : diviser deux fractions entre elles revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ?
modifier
Il suffit pour cela d'écrire cette opération :
a b / c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}}
Or, on sait que diviser par un nombre (s'il est non nul), revient à multiplier par son inverse. On peut donc écrire : a b / c d = a b c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}} , puis :
a b / c d = a b × d c = a × d b × c {\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {a\times d}{b\times c}}} .
Enfin, comme a × b = b × a {\displaystyle a\times b=b\times a} , on a :
a b / c d = a c × d b {\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {d}{b}}} , ou a b / c d = a c × 1 b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {1}{\frac {b}{d}}}}
Cette règle est donc vérifiée (vraie).