Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

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Décomposition en éléments simples dans R
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Chapitre no 3
Leçon : Fractions rationnelles
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Décomposition en éléments simples dans les réels

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Principes généraux

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Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemples de décompositions

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Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré

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Pour décomposer

 

en éléments simples, observons d’abord

 .

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

 .

Les différentes étapes sont :

  • En multipliant par   il vient :
     ,
    soit :
     .
  • En posant   :
     ,
    soit :  .
  • En remplaçant   par   et en posant  , il vient :
     ,
     ,
    soit :  .
  • En remplaçant   par  ,   par   et en posant   :
     ,
    soit :  .
  • La décomposition en éléments simples réels est donc :
     .

Passage par les complexes

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On peut décomposer sur   la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.

Exemple :  . Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :

 .
 .

Par la méthode du cache,

 .

Puisque   est réelle,

  et
 .

Par parité de  , on en déduit :

 .

Répétition d'un facteur irréductible du second degré

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Décomposons  .

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

 .

La détermination de A se fait en multipliant par   et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

 ,

ce qui donne

 .

En remplaçant   par y, c'est-à-dire   par   :

 .

La décomposition finale est donc

 .