Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans R

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Décomposition en éléments simples dans les réels

Principes généraux

Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $F={\frac {P}{Q}}$ irréductible, alors si Q admet la factorisation $Q(x)=(x-z_{1})^{n_{1}}(x-z_{2})^{n_{2}}...(x-z_{p})^{n_{p}}(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{m_{1}}(x^{2}-\beta _{2}x+\gamma _{2})^{m_{2}}...(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{m_{q}}$ où les polynômes $x^{2}-\beta _{g}x+\gamma _{g}$ n’ont pas de racine réelle ( $\Delta$ négatif ) alors F admet la décomposition unique en éléments simples suivante

$F(x)={\begin{array}{l}T+{\frac {a_{11}}{(x-z_{1})}}+{\frac {a_{12}}{(x-z_{1})^{2}}}+...+{\frac {a_{1n_{1}}}{(x-z_{1})^{n_{1}}}}\\+\cdots \\+{\frac {a_{p1}}{(x-z_{p})}}+{\frac {a_{p2}}{(x-z_{p})^{2}}}+...+{\frac {a_{pn_{p}}}{(x-z_{p})^{n_{p}}}}\\+{\frac {b_{11}x+c_{11}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})}}+{\frac {b_{12}x+c_{12}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{2}}}+...+{\frac {b_{1m_{1}}x+c_{1m_{1}}}{(x^{2}-\beta _{1}x+\gamma _{1})^{m_{1}}}}\\+...\\+{\frac {b_{q1}x+c_{q1}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})}}+{\frac {b_{q2}x+c_{q2}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{2}}}+...+{\frac {b_{qm_{q}}x+c_{qm_{q}}}{(x^{2}-\beta _{q}x+\gamma _{q})^{m_{q}}}}\end{array}}$

où les $a_{ij}$ , $b_{gl}$ et $c_{gl}$ sont des nombres réels.

Fin du théorème

Exemples de décompositions

Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

Existence d'un facteur irréductible du second degré

Pour décomposer

${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}$

en éléments simples, observons d’abord

$x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$.

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 2² − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}$.

Les différentes étapes sont :

• En multipliant par $x-2$ il vient :

  ${\frac {(x-2)(10x^{2}+12x+20)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}}=(x-2){\frac {A}{x-2}}+(x-2){\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$,

  soit :

  ${\frac {10x^{2}+12x+20}{x^{2}+2x+4}}=A+(x-2){\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$.

• En posant $x=2$ :

  ${\frac {10.2^{2}+12.2+20}{2^{2}+2.2+4}}=A+(2-2){\frac {Bx+C}{2^{2}+2.2+4}}$,

  soit : $7=A$.

• En remplaçant $A$ par $7$ et en posant $x=0$, il vient :

  ${\frac {10x^{2}+12x+20}{(x^{2}+2x+4)(x-2)}}={\frac {7}{x-2}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+4}}$,

  soit : $C=4$.

• En remplaçant $A$ par $7$, $C$ par $4$ et en posant $x=1$ :

  ${\frac {10.1^{2}+12.1+20}{1^{2}+2.1+4}}={\frac {7}{1-2}}+{\frac {B.1+4}{1^{2}+2.1+4}}$,

  soit : $B=3$.

• La décomposition en éléments simples réels est donc :

  ${10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}$.

Passage par les complexes

On peut décomposer sur $\mathbb {C}$ la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.

Exemple : $F(x)={\frac {1}{X^{4}+1}}$. Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :

$\alpha =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}},\quad {\bar {\alpha }}={\frac {1-\mathrm {i} }{\sqrt {2}}},\quad \beta =-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}}=-{\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}},\quad {\bar {\beta }}=-{\frac {1-\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$.

$F(X)={\frac {a}{X-\alpha }}+{\frac {b}{X-{\bar {\alpha }}}}+{\frac {c}{X-\beta }}+{\frac {d}{X-{\bar {\beta }}}}$.

Par la méthode du cache,

$a={\frac {1}{(\alpha -{\bar {\alpha }})(\alpha -\beta )(\alpha -{\bar {\beta }})}}={\frac {1}{\mathrm {i} {\sqrt {2}}(\alpha ^{2}+\alpha {\sqrt {2}}+1)}}={\frac {1}{\mathrm {i} {\sqrt {2}}(\mathrm {i} +1+\mathrm {i} +1)}}={\frac {-1-\mathrm {i} }{4{\sqrt {2}}}}$.

Puisque $F$ est réelle,

$b={\bar {a}}={\frac {-1+\mathrm {i} }{4{\sqrt {2}}}}$ et

${\frac {a}{X-\alpha }}+{\frac {b}{X-{\bar {\alpha }}}}=2\operatorname {Re} \left({\frac {a(X-{\bar {\alpha }})}{X^{2}-X{\sqrt {2}}+1}}\right)={\frac {-{\frac {X}{2{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}}{X^{2}-X{\sqrt {2}}+1}}$.

Par parité de $F$, on en déduit :

${\frac {c}{X-\beta }}+{\frac {d}{X-{\bar {\beta }}}}={\frac {{\frac {X}{2{\sqrt {2}}}}+{\frac {1}{2}}}{X^{2}+X{\sqrt {2}}+1}}$.

Répétition d'un facteur irréductible du second degré

Décomposons ${25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}$.

Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme

${A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}$.

La détermination de A se fait en multipliant par $x+2$ et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

$F(x)={\frac {1}{x+2}}+{\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}$,

ce qui donne

${\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}-{\frac {1}{x+2}}=\cdots ={\dfrac {-x^{3}+2x^{2}-6x+12}{(x^{2}+1)^{2}}}$.

En remplaçant $x^{2}+1$ par y, c'est-à-dire $x^{2}$ par $y-1$ :

${\frac {R(x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-xy+x+2y-2-6x+12}{y^{2}}}={\frac {-x+2}{y}}+{\frac {-5x+10}{y^{2}}}={\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}$.

La décomposition finale est donc

${25 \over (x+2)(x^{2}+1)^{2}}={\frac {1}{x+2}}+{\frac {-x+2}{x^{2}+1}}+{\frac {-5x+10}{(x^{2}+1)^{2}}}$.