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Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.
Début d’un théorème
Théorème
Soit irréductible, alors si Q admet la factorisation
où les polynômes n’ont pas de racine réelle ( négatif ) alors F admet la décomposition unique en éléments simples suivante
Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudiées dans la section précédente. Il ne reste donc plus qu’à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.
Existence d'un facteur irréductible du second degréModifier
Pour décomposer
en éléments simples, observons d’abord
.
Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 22 − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que
.
Les différentes étapes sont :
En multipliant par il vient :
,
soit :
.
En posant :
,
soit : .
En remplaçant par et en posant , il vient :
,
soit : .
En remplaçant par , par et en posant :
,
soit : .
La décomposition en éléments simples réels est donc :
On peut décomposer sur la fraction rationnelle réelle, puis regrouper tous les éléments simples correspondant à un pôle complexe et son conjugué, pour former les éléments simples de deuxième espèce.
Exemple : . Les pôles sont les racines quatrièmes de –1 :
.
.
Par la méthode du cache,
.
Puisque est réelle,
et
.
Par parité de , on en déduit :
.
Répétition d'un facteur irréductible du second degréModifier
Décomposons .
Avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en éléments simples sera de la forme
.
La détermination de A se fait en multipliant par et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire