Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C

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Décomposition en éléments simples dans C
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Chapitre no 2
Leçon : Fractions rationnelles
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Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C
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Éléments théoriquesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Or d’après le théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme Q possède, dans  , p racines   d'ordres   avec  .

La propriété précédente se généralise alors à

Début d’un théorème
Fin du théorème


Détermination de la partie entièreModifier

La partie entière   d'une fraction rationnelle   est le quotient de la division euclidienne de   par  . En particulier :

  • si   alors   ;
  • si   alors  .

Exemples de décompositionsModifier

L'existence d'une décomposition étant établie, la difficulté réside dans les techniques pour déterminer les différents coefficients. Ces techniques sont applicables dans le corps des complexes ou dans le corps des réels dès que le polynôme Q est produit de facteurs du premier degré. Dans un souci de lisibilité,les exemples sont ici donnés avec des coefficients réels.

Pôles de degré 1Modifier

Étude d'un cas simpleModifier

Soit  .

Cette fraction admet deux pôles simples   et   donc  . On en déduit que   peut s'écrire sous la forme :

 

et il s'agit de déterminer   et  .

Une méthode qui est toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients des numérateurs. Cette méthode n’est pas très efficace car elle demande la résolution d’un nombre d’équations correspondant au nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire grandement le travail et les risques d'erreurs en éliminant, par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf un, ce qui permet de calculer directement ce dernier indépendamment des autres.

Ainsi dans notre exemple, en multipliant par  , on obtient

 .

En posant alors  , il vient  .

De même, en multipliant   par   et en posant  , il vient   puisque

 .

La fonction   se décompose alors en

 .

Cas plus complexeModifier

De même, prenons la fonction rationnelle :

 .

Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités remarquables, on peut l'écrire

 

qui se décompose en

 .

Pour trouver le coefficient  , il suffit de multiplier les deux membres par   puis de remplacer   par   :

 ,
 .

De même pour trouver  , il suffit de multiplier par   et de remplacer   par   :

 .

Pour  , il suffit de multiplier par   et de remplacer   par   :

 

et pour  , on multiplie par   et on remplace   par   :

 .

Donc

 .

Existence d'un pôle de degré supérieur à 1Modifier

Pour une fonction rationnelle de la forme

 

(où «   » est un polynôme quelconque de degré inférieur à 5) la décomposition en fractions partielles aura comme allure

 

La détermination des coefficients A, B, C, D, E, F s'opère en effectuant le changement de variable   (autre méthode que précédemment mais qui conduit au même résultat final). La fraction s'écrit alors  .

Wikipédia possède un article à propos de « Division suivant les puissances croissantes ».

La division de   par   suivant les puissances croissantes (voir l'article de Wikipédia) nous donne alors

 .

Il suffit alors d'opérer la division et de revenir à la variable de départ.

Pôle uniqueModifier

Si le pôle est unique, alors la décomposition en éléments simples peut se faire aisément en appliquant la formule de Taylor au polynôme numérateur, en l'unique pôle.