Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans C

Exercice 2-1

1. Diviser $2-X+3X^{4}-X^{5}$ par $1-X+X^{3}$ suivant les puissances croissantes à l'ordre 7.
2. De même, si $a\in \mathbb {R}$ est fixé, diviser $1-X\cos a$ par $1-2X\cos a+X^{2}$ à tout ordre. On pourra considérer la fraction rationnelle ${\frac {1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}}{(1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a})(1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})}}$.
3. Effectuer à tout ordre la division de $1-abX^{2}$ par $(1-aX)(1-bX)$ suivant les puissances croissantes.

Solution

1. $2-X+3X^{4}-X^{5}=(1-X+X^{3})(2+X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5})-X^{7}+X^{8}$.
2. ${\frac {1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}}{(1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a})(1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})}}={\frac {1}{1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}}}=1+X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}+X^{2}\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} a}+\dots +X^{n-1}\operatorname {e} ^{-(n-1)\mathrm {i} a}+{\frac {(X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a})^{n}}{1-X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}}}$
   donc
   $1-X\operatorname {e} ^{\mathrm {i} a}=\left(1+X\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} a}+X^{2}\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} a}+\dots +X^{n-1}\operatorname {e} ^{-(n-1)\mathrm {i} a}\right)(1-2X\cos a+X^{2})+X^{n}\operatorname {e} ^{-n\mathrm {i} a}$
   donc
   $1-X\cos a=\left(1+X\cos a+X^{2}\cos(2a)+\dots +X^{n-1}\cos((n-1)a)\right)(1-2X\cos a+X^{2})+X^{n}\cos(na)$.
3. ${\frac {1-UV}{(1-U)(1-V)}}=-1+{\frac {1}{1-U}}+{\frac {1}{1-V}}=-1+1+U+U^{2}+\dots +U^{n-1}+{\frac {U^{n}}{1-U}}+1+V+V^{2}+\dots +V^{n-1}+{\frac {V^{n}}{1-V}}$ donc (en remplaçant $U$ par $aX$ et $V$ par $bX$)
   $1-abX^{2}=(1-aX)(1-bX)\left(1+(a+b)X+(a^{2}+b^{2})X^{2}+\dots +(a^{n-1}+b^{n-1})X^{n-1}\right)+X^{n}\left((1-bX)a^{n}+(1-aX)b^{n}\right)$.

 

Exercice 2-2

1. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb {C} (X)$ la fraction rationnelle ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}$.
2. En déduire la décomposition dans $\mathbb {R} (X)$.

Solution

1. Par imparité, ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {a}{X-\mathrm {i} }}+{\frac {a}{X+\mathrm {i} }}+{\frac {b}{X}}+{\frac {c}{X-1}}+{\frac {c}{X+1}}$. La méthode du cache donne $a=c={\frac {1}{4}}$ et $b=-1$, d'où

   ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {1/4}{X-\mathrm {i} }}+{\frac {1/4}{X+\mathrm {i} }}-{\frac {1}{X}}+{\frac {1/4}{X-1}}+{\frac {1/4}{X+1}}$.

2. ${\frac {1}{(X^{2}+1)(X^{3}-X)}}={\frac {X/2}{X^{2}+1}}-{\frac {1}{X}}+{\frac {1/4}{X-1}}+{\frac {1/4}{X+1}}$.

 

Exercice 2-3

Décomposer en éléments simples sur $\mathbb {R}$ puis $\mathbb {C}$ :

${\frac {X^{4}+2}{X(X^{2}-1)^{2}(X^{2}+1)}}$.

Solution

${\begin{aligned}{\frac {X^{4}+2}{X(X^{2}-1)^{2}(X^{2}+1)}}&={\frac {2}{X}}-{\frac {5/8}{X-1}}-{\frac {5/8}{X+1}}+{\frac {3/8}{(X-1)^{2}}}-{\frac {3/8}{(X+1)^{2}}}-{\frac {3X/4}{X^{2}+1}}\\&={\frac {2}{X}}-{\frac {5/8}{X-1}}-{\frac {5/8}{X+1}}+{\frac {3/8}{(X-1)^{2}}}-{\frac {3/8}{(X+1)^{2}}}-{\frac {3/8}{X-\mathrm {i} }}-{\frac {3/8}{X+\mathrm {i} }}\end{aligned}}$.