Fractions rationnelles/Exercices/Décomposition en éléments simples dans R
Exercice 1-1
modifierDécomposer en éléments simples sur les fractions rationnelles
- .
En multipliant par puis en posant , on trouve
- .
En multipliant par puis en posant , on trouve
- .
En multipliant par puis en posant , on trouve
(on pouvait aussi remarquer que est impaire donc ).
- .
On peut calculer de même les décompositions de et , ou les déduire de celle de :
- .
- .
Exercice 1-2
modifierDécomposer en éléments simples sur la fraction rationnelle
- .
donc
- .
Par parité, et . Puis (par évaluation en ). Puis (en réduisant au même dénominateur et en identifiant le coefficient de degré 2 du numérateur) . Donc la décomposition en éléments simples est
- avec .
Exercice 1-3
modifierDécomposer en éléments simples les fractions rationnelles
- et
donc
- .
Après réduction au même dénominateur :
Par identification des coefficients et résolution du système :
donc
- .
De même,
- .
Par parité, et . Puis (après réduction au même dénominateur)
donc et
- .
Exercice 1-4
modifierDécomposer en éléments simples les fractions rationnelles
- et .
et .
Exercice 1-5
modifierDécomposer en éléments simples les fractions rationnelles :
- ;
- ;
- ;
- .
- ;
- (par la méthode des coefficients indéterminés, ou par la méthode du cache, ou par la technique spécifique aux pôles simples) ;
- ;
- avec , , donc avec
, d'où .
Exercice 1-6
modifierDécomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
- .
On posera et l'on effectuera une division suivant les puissances croissantes de .
.
.
.
Exercice 1-7
modifierDécomposer en éléments simples sur :
- et .
donc .
Pour tout réel , , donc .
Exercice 1-8
modifierDécomposer en éléments simples sur :
- , puis .
donc .
et donc
.
Exercice 1-8
modifierDécomposer en éléments simples sur :
- .
, d'où et donc
(autre méthode : donc donne , et donc donne , donc ).
Voir aussi
modifier- Mathématiques en MPSI, devoir 1, exercice 1
- « Décomposition en éléments simples (calculateur en ligne) », sur wolframalpha.com