Géométrie affine/Devoir/Groupes de paveurs du plan

Groupes de paveurs du plan
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Devoir no2
Leçon : Géométrie affine

Devoir de niveau 15.

Dev préc. :Triangles et courbe
Dev suiv. :Sommaire
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Dans tout ce devoir, désigne un plan affine, et son espace vectoriel directeur. On suppose cet espace vectoriel muni d'une structure euclidienne et d'une orientation. On note le sous-groupe de constitué des isométries, et le sous-groupe des isométries directes, c'est-à-dire des rotations vectorielles.

I. Préliminaires.

I.1 Isométries affines.

1. Montrer que l'application suivante est surjective :

On rappelle que c'est un morphisme de groupes dont le noyau est par définition , le sous-groupe des translations de . On notera la translation de vecteur .

2. Montrer que est un sous-groupe de .

On notera le groupe (groupe des isométries affines directes). On appelle rotation (affine) tout élément de ayant un point fixe. On appelle angle d'une rotation affine l'angle, dans , de sa partie vectorielle.

3. Montrer qu'une rotation distincte de l'identité admet un unique point fixe. On appelle centre de la rotation ce point fixe.

4. Soit un élément de . Montrer que pour tout point , il existe un unique couple , où est une translation et une rotation de centre , tels que . Montrer qu'un point est fixe par si et seulement si . En déduire que tout élément de est soit une rotation, soit une translation.

I.2 Composition de rotations.

Soient et deux rotations non triviales, de centres respectifs et , d'angles respectifs et .

5. Décrire si . On suppose désormais .

6. Montrer que si , alors et sont des translations. Exprimer les vecteurs de ces translations sous la forme (avec à préciser). En déduire que et ne commutent pas.

7. Montrer qu'il existe un couple de vecteurs unitaires, formant un angle orienté , et tels que la droite dirigée par passant par soit bissectrice de cet angle. Montrer que le couple , où est la droite dirigée par passant par , est unique.

On se donne ce couple de droites, et le couple analogue centré en , d'angle orienté .

8. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i)  ;

(i')  ;

(ii) et sont parallèles ;

(ii') et sont parallèles ;

(iii) .

9. On suppose maintenant , et l'on se donne des points d'intersection et . Montrer que et sont des rotations, dont on précisera les centres et angles. En déduire qu'ici aussi, et ne commutent pas.

10. Montrer que le commutateur de deux rotations non triviales n'ayant pas même centre est une translation non triviale.

I.3 Conjugaison.

11. Soient une translation et . Montrer que est une translation de vecteur .

12. Soient et une rotation non triviale de centre , montrer que est une rotation de centre et de même angle que .

II. Les groupes de paveurs.

L'espace affine peut être identifié à muni de sa topologie usuelle, et a donc une structure topologique. On rappelle qu'une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. On rappelle qu'une partie est discrète si elle n'intersecte chaque compact qu'en un nombre fini de points.

On suppose dorénavant donné , un compact connexe de , d'intérieur non vide, et un sous-groupe agissant sur et vérifiant :

Dans une telle situation, on dit que le couple est un pavage du plan. L'objet du problème est d'obtenir des informations sur les sous-groupes de qui peuvent être un groupe de paveurs.

On admettra que le point est en fait une conséquence des points et .

13. Soient un parallélogramme dans , et le groupe de translations engendré par les translations de vecteur et . Montrer que est bien un pavage du plan (indication : on pensera à la partie entière).

II.1 Le sous-groupe des translations.

On note le sous-groupe des translations de . On l'identifiera librement au sous-groupe de des vecteurs de ces translations.

II.1.1 Montrons que est non trivial.

Supposons au contraire que est trivial.

14. En utilisant , montrer que contient deux rotations n'ayant pas même centre.

12. Conclure (indication : question 10).

II.1.2 Montrons que contient deux vecteurs linéairement indépendants.

Supposons au contraire que les vecteurs de appartiennent à une droite vectorielle de .

16. Si , montrer que est inclus dans une bande de direction . En déduire que (par ).

17. Soient et non trivial. Montrer que est une symétrie centrale (rotation d'angle ) (indication : question 11). Montrer que les centres des éléments de sont alignés (indication : question 6).

18. En déduire que est inclus dans une bande de direction , et conclure par .

II.1.3 Montrons que le groupe est discret.

19. Par l'hypothèse , montrer qu'il existe un vecteur de plus petite norme parmi les vecteurs non nuls de , et un vecteur de plus petite norme parmi les vecteurs de non colinéaires à .

20. Supposons qu'il existe une translation qui n'est pas dans . Par un argument de division euclidienne, obtenir une contradiction avec la définition du couple . En déduire :

.

II.2 Les rotations de .

21. Soit . En utilisant la question 11, montrer que la matrice de dans la base de est à coefficients entiers. En déduire que la trace de est un entier. Quelle est la trace d'une rotation en fonction de son angle ? En déduire que est d'ordre fini égal à , , ou , puis qu'il en est de même de .

22. On se place dans le cas particulier où et n'ont pas même norme. Montrer que , et en déduire que .

II.2.1 Groupe .

On suppose ici que toutes les rotations de sont des symétries centrales.

23. Soit un centre d'une symétrie de . Montrer que l'ensemble des centres des symétries de est (indication : on procédera par double inclusion, et l'on utilisera la question 4 pour l'inclusion réciproque).

II.2.2 Les autres cas.

Soit une rotation, de centre , d'ordre et d'angle . On admet qu'il existe une rotation , de centre , d'ordre et d'angle , telle que le centre soit le plus proche de parmi les centres des rotations non triviales de .

Attention, dans cette partie, désignera une rotation, qu'on introduit à la question suivante.

24. Montrer que est une rotation, dont on note le centre. Montrer que les angles (non orientés) du triangle sont moitié de ceux des rotations , et (indication : questions 7 et 9).

25. Soit l'ordre de . On veut montrer que l'angle de est . Supposons qu'il soit de la forme avec , et . Montrer que la rotation de centre et d'angle appartient à . Construire le centre de la rotation et en déduire une contradiction avec le choix de .

26. Déduire des deux questions précédentes :

.

Donner tous les triplets d'entiers naturels avec , et vérifiant cette relation.

On se limite dorénavant au cas . On suppose que les vecteurs et sont de norme . Quelle est la nature du triangle  ?

27. Montrer que et sont des translations, dont on écrira les vecteurs et dans la base .

28. On souhaite montrer que . Pour cela, montrer que l'application est une similitude vectorielle, c'est-à-dire conserve l'orthogonalité. En calculant son déterminant dans la base , trouver son rapport. Conclure en utilisant la question 4, la section 2.1 et la définition de .

29. Montrer que vérifie l'axiome (indication : on note et les sommets non encore introduits de l'hexagone régulier centré en dont , , et sont des sommets. On commencera par recouvrir cet hexagone).

30. On souhaite montrer que toutes les rotations d'ordre sont obtenues comme conjuguées d'une des rotations , , , , ou par un élément de . Soit donc une telle rotation . Montrer qu'il existe une rotation conjuguée à par des éléments de , et dont le centre est dans . Montrer qu'une telle rotation est , , , une puissance de celles-ci, ou une conjuguée de celles-ci par ou et conclure.

31. En déduire que toute rotation dans est d'ordre . Montrer qu'il existe un morphisme surjectif dont le noyau est isomorphe à .