Géométrie affine/Devoir/Triangles et courbe
Exercice
Dans un plan affine , on considère un triangle non aplati et son isobarycentre.
a) Démontrer qu'il existe une unique application affine envoyant le triangle ordonné sur le triangle ordonné (c'est-à-dire envoyant sur , sur et sur ). On fixe désormais cette application.
b) Démontrer que .
c) Si (avec ) est le triplet des coordonnées barycentriques d'un point dans le repère , quel est celui de ?
d) En déduire que est l'unique point fixe de .
e) En déduire que tout triangle dont les sommets sont permutés circulairement par a pour isobarycentre .
f) (Exemple de construction d'un tel triangle) Soit une droite de . Démontrer que est une droite sécante à (indication : déduire de b) et d) que n'a aucune valeur propre réelle). On note alors , , . Caractériser comme intersection de deux droites. Caractériser de même .
a) est un repère affine de donc pour tous il existe une unique application affine envoyant sur .
b) est l'unique application affine envoyant sur , donc .
c) a pour coordonnées .
d) .
e) Soit l'isobarycentre d'un triangle dont les sommets sont permutés circulairement par . Alors donc .
f) D'après b), donc le polynôme annule , donc est la seule valeur propre réelle possible. D'après d), n'est pas valeur propre. Donc n'a aucune valeur propre réelle. Donc la droite vectorielle est différente de , autrement dit les droites affines et sont non parallèles, donc sont sécantes. , .
Problème
Soient un plan affine, un triangle non aplati, , et les milieux respectifs de , et , l'isobarycentre de , les isobarycentres respectifs de , et , et le milieu de . Dans les deuxième et troisième parties, désignera l'ensemble des points dont les coordonnées barycentriques dans le repère vérifient (et bien sûr ). Ces deuxième et troisième parties sont indépendantes.
Première partie.
1) Montrer que les droites et sont parallèles. Donner deux autres relations de parallélisme similaires. En déduire que est le milieu de .
2) Montrer que est l'isobarycentre des triangles et (on pourra raisonner directement, ou utiliser l'exercice, question e).
3) Décrire une homothétie (centre et rapport) envoyant le triangle ordonné sur le triangle ordonné . De même pour les triangles ordonnés et , puis pour les triangles ordonnés et . Est-ce encore possible pour les triangles ordonnés et ?
Deuxième partie.
Soit . On note et , puis .
1) Quel est le point dans chacun des cas particuliers ?
2) Justifier que le point est bien défini (pour tout ) (indications au choix : on peut par exemple appliquer l'exercice question f, ou encore prouver l'existence et l'unicité de au cours de la réponse à la question 3 ci-dessous).
3) Calculer (en fonction de ) les coordonnées barycentriques de dans le repère affine .
4) Calculer leurs limites quand . Quel est le point correspondant ?
5) Pour , vérifier que
a) ,
b) si alors .
c) Donner les deux valeurs de pour lesquelles .
6) En déduire que l'application est une bijection de dans .
Troisième partie. (Étude de la courbe )
1) Soient les coordonnées barycentriques d'un point dans le repère et les coordonnées du vecteur dans la base .
a) Exprimer en fonction de (indication : d'après la première partie, ).
b) En déduire qu'il existe une constante (à déterminer) telle que .
2) On suppose dans cette question que le plan est muni d'une structure euclidienne pour laquelle le triangle est équilatéral, avec . Calculer en fonction de . En déduire l'interprétation géométrique de . est un objet remarquable pour les triangles , et . Le décrire en ces termes.
3) Démontrer qu'il existe une (unique) structure euclidienne sur (c'est-à-dire un unique produit scalaire sur le plan vectoriel associé) pour laquelle les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.
4) On note la structure euclidienne particulière précédente, et une structure euclidienne quelconque. On rappelle qu'il existe une base orthonormée pour et des constantes telles que soit orthonormée pour . Pour une telle base, donner l'équation de dans le repère . En déduire l'interprétation géométrique de dans le plan affine euclidien .
Première partie.
1) L'homothétie de centre et de rapport envoie sur donc donc . De même, et . En particulier, est un parallélogramme donc le milieu de est .
2) Appliquons l'exercice avec : envoie sur donc (question e) l'isobarycentre de est . D'autre part envoie sur (donc sur ), sur (donc sur ), et sur (donc sur ) donc (question e) l'isobarycentre de est encore .
3) Pour , cf. question 1. D'après cette même question, l'homothétie de centre et de rapport échange non seulement avec mais aussi avec , donc échange avec . Puisque , on a , donc l'homothétie de centre et de rapport envoie sur . De même, et . Donc envoie sur . D'après la question 2, elle fixe . C'est donc l'homothétie de centre et de rapport . Par contre, l'unique application affine qui envoie sur n'est pas une homothétie (ni une translation) puisque (par exemple) n'est pas parallèle à . (En fait cette application est la symétrie par rapport à , parallèlement à ).
Deuxième partie.
1) , , .
2) Appliquons l'exercice à et : est sécante à .
3) Un point appartient à si et seulement si ses coordonnées barycentriques dans vérifient et à si et seulement si . En remplaçant par exemple par on en déduit le système de deux équations à deux inconnues , dont la solution (unique) est , d'où . (On retrouve en particulier les réponses aux deux questions précédentes.)
4) donc .
5)
a) On vérifie que (dans les deux cas et ).
b) Si (ce qui implique ), on vérifie que .
c) si et seulement si ou .
6) D'après 5.a, est une application de dans . D'après 5.b (jointe à 5.c et au fait que ), cette application est injective. Montrons qu'elle est surjective. Soit de coordonnées barycentriques dans , avec . Si alors devient , donc ou , donc ou . Si , posons . Alors , d'où et , donc (cf. question 2) .
Troisième partie.
1)
a) et donc .
b) , or . Donc .
2) On a donc , donc est le cercle de centre et de rayon . C'est le cercle circonscrit à et et inscrit dans .
3) Un produit scalaire est déterminé de façon unique par sa matrice (symétrique définie positive) dans la base , autrement dit par la donnée de , , tels que . Les hypothèses de la question 2 correspondent à .
4) Soient les coordonnées de dans , alors ses coordonnées dans sont donc . Donc dans , est une ellipse de centre et d'axes dirigés par et . On peut remarquer de plus qu'elle est tangente à en , ce qui suffit amplement à la déterminer complètement.