Géométrie affine/Devoir/Triangles et courbe

Triangles et courbe
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Devoir no1
Leçon : Géométrie affine

Devoir de niveau 15.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :Groupes de paveurs du plan
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Géométrie affine/Devoir/Triangles et courbe
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Exercice

Dans un plan affine , on considère un triangle non aplati et son isobarycentre.

a) Démontrer qu'il existe une unique application affine envoyant le triangle ordonné sur le triangle ordonné (c'est-à-dire envoyant sur , sur et sur ). On fixe désormais cette application.

b) Démontrer que .

c) Si (avec ) est le triplet des coordonnées barycentriques d'un point dans le repère , quel est celui de  ?

d) En déduire que est l'unique point fixe de .

e) En déduire que tout triangle dont les sommets sont permutés circulairement par a pour isobarycentre .

f) (Exemple de construction d'un tel triangle) Soit une droite de . Démontrer que est une droite sécante à (indication : déduire de b) et d) que n'a aucune valeur propre réelle). On note alors , , . Caractériser comme intersection de deux droites. Caractériser de même .

Problème

Soient un plan affine, un triangle non aplati, , et les milieux respectifs de , et , l'isobarycentre de , les isobarycentres respectifs de , et , et le milieu de . Dans les deuxième et troisième parties, désignera l'ensemble des points dont les coordonnées barycentriques dans le repère vérifient (et bien sûr ). Ces deuxième et troisième parties sont indépendantes.

Première partie.

1) Montrer que les droites et sont parallèles. Donner deux autres relations de parallélisme similaires. En déduire que est le milieu de .

2) Montrer que est l'isobarycentre des triangles et (on pourra raisonner directement, ou utiliser l'exercice, question e).

3) Décrire une homothétie (centre et rapport) envoyant le triangle ordonné sur le triangle ordonné . De même pour les triangles ordonnés et , puis pour les triangles ordonnés et . Est-ce encore possible pour les triangles ordonnés et  ?

Deuxième partie.

Soit . On note et , puis .

1) Quel est le point dans chacun des cas particuliers  ?

2) Justifier que le point est bien défini (pour tout ) (indications au choix : on peut par exemple appliquer l'exercice question f, ou encore prouver l'existence et l'unicité de au cours de la réponse à la question 3 ci-dessous).

3) Calculer (en fonction de ) les coordonnées barycentriques de dans le repère affine .

4) Calculer leurs limites quand . Quel est le point correspondant ?

5) Pour , vérifier que

a) ,

b) si alors .

c) Donner les deux valeurs de pour lesquelles .

6) En déduire que l'application est une bijection de dans .

Troisième partie. (Étude de la courbe )

1) Soient les coordonnées barycentriques d'un point dans le repère et les coordonnées du vecteur dans la base .

a) Exprimer en fonction de (indication : d'après la première partie, ).

b) En déduire qu'il existe une constante (à déterminer) telle que .

2) On suppose dans cette question que le plan est muni d'une structure euclidienne pour laquelle le triangle est équilatéral, avec . Calculer en fonction de . En déduire l'interprétation géométrique de . est un objet remarquable pour les triangles , et . Le décrire en ces termes.

3) Démontrer qu'il existe une (unique) structure euclidienne sur (c'est-à-dire un unique produit scalaire sur le plan vectoriel associé) pour laquelle les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.

4) On note la structure euclidienne particulière précédente, et une structure euclidienne quelconque. On rappelle qu'il existe une base orthonormée pour et des constantes telles que soit orthonormée pour . Pour une telle base, donner l'équation de dans le repère . En déduire l'interprétation géométrique de dans le plan affine euclidien .