Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens

Espaces affines euclidiens
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Exercices no5
Leçon : Géométrie affine

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
Exo suiv. :Sommaire
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Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens
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Exercice 5-1Modifier

On se place dans un plan affine euclidien. Soit   un cercle, de centre   et de rayon  . On rappelle qu'une droite   passant par un point   de   est tangente à   si et seulement si   est perpendiculaire à  .

a) Soit   une droite passant par un point   du plan et coupant   en un point  . Montrer que   est tangente à   si et seulement si le point   est sur l'intersection de   avec le cercle de diamètre  . En déduire le nombre de tangente(s) à   passant par  , selon la position de   par rapport à  .

b) Soient   un réel non nul et   une dilatation de rapport   (c'est-à-dire une application affine telle que  , autrement dit une homothétie si   ou une translation si  ). Montrer que   est le cercle de centre   et de rayon  .

c) Soit   un cercle distinct de  , de centre   et de rayon  . Montrer qu'il existe exactement deux dilatations   et   (de rapports respectifs   et  ) qui envoient   sur  . Préciser leur centre (dans le cas d'une homothétie) ou vecteur (dans le cas d'une translation).

d) Soit   une tangente à  . Montrer que   et   sont exactement les deux tangentes à   parallèles à  . En déduire la condition sur   (en termes de centre d'homothétie ou vecteur de translation vus précédemment) pour que   soit tangente à  .

e) En déduire (suivant les positions respectives de  ) le nombre de tangentes communes à ces deux cercles.

Exercice 5-2Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Puissance d'un point par rapport à un cercle ».

On se place dans un plan affine euclidien  . Soient   trois cercles de centres   non alignés et de rayons   non nuls. La puissance par rapport à   d'un point   du plan est par définition  . L'axe radical de   et   est par définition l'ensemble   des points   tels que   (on va démontrer dans a) et b) que c'est une droite).

a) En notant   et en considérant l'application  , montrer que   est non vide.

b) Pour tout  , montrer que   est la perpendiculaire à   passant par  .

c) Montrer que les trois droites   sont concourantes.

d) On suppose désormais que   sont sécants deux à deux et l'on note   la droite joignant les deux points de  ,   celle joignant les deux points de   et   celle joignant les deux points de  . Déduire de c) que ces trois droites sont concourantes.

e) On veut redémontrer d) par une autre méthode. On plonge pour cela le plan   dans un espace affine euclidien   de dimension  , et l'on suppose par exemple  . On choisit deux sphères de   de rayon   dont les intersections avec   soient  , on note   leurs centres respectifs, et l'on note   les plans médiateurs respectifs de  . Démontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent   suivant les droites  . Conclure.