Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens

Exercice 5-1

On se place dans un plan affine euclidien. Soit $C$ un cercle, de centre $O$ et de rayon $R\neq 0$. On rappelle qu'une droite $D$ passant par un point $A$ de $C$ est tangente à $C$ si et seulement si $D$ est perpendiculaire à $(OA)$.

a) Soit $D$ une droite passant par un point $M$ du plan et coupant $C$ en un point $A$. Montrer que $D$ est tangente à $C$ si et seulement si le point $A$ est sur l'intersection de $C$ avec le cercle de diamètre $[O,M]$. En déduire le nombre de tangente(s) à $C$ passant par $M$, selon la position de $M$ par rapport à $C$.

b) Soient $k$ un réel non nul et $f$ une dilatation de rapport $k$ (c'est-à-dire une application affine telle que ${\overrightarrow {f}}=k{\rm {id}}$, autrement dit une homothétie si $k\neq 1$ ou une translation si $k=1$). Montrer que $f(C)$ est le cercle de centre $f(O)$ et de rayon $|k|R$.

c) Soit $C'$ un cercle distinct de $C$, de centre $O'$ et de rayon $R'\neq 0$. Montrer qu'il existe exactement deux dilatations $f_{+}$ et $f_{-}$ (de rapports respectifs $R'/R$ et $-R'/R$) qui envoient $C$ sur $C'$. Préciser leur centre (dans le cas d'une homothétie) ou vecteur (dans le cas d'une translation).

d) Soit $D$ une tangente à $C$. Montrer que $f_{+}(D)$ et $f_{-}(D)$ sont exactement les deux tangentes à $C'$ parallèles à $D$. En déduire la condition sur $D$ (en termes de centre d'homothétie ou vecteur de translation vus précédemment) pour que $D$ soit tangente à $C'$.

e) En déduire (suivant les positions respectives de $C,C'$) le nombre de tangentes communes à ces deux cercles.

Solution

a) $D=(MA)$ est tangente à $C$ si et seulement si $(MA)\perp (OA)$ donc si et seulement si $A$ appartient au cercle de diamètre $[O,M]$. Les tangentes à $C$ passant par $M$ sont donc les droites $(MA)$ quand $A$ parcourt l'intersection de $C$ avec ce cercle. Si $M$ est intérieur à $C$, cette intersection est vide (il n'y a aucune tangente à $C$ issue de $M$) ; si $M$ est sur $C$, cette intersection est réduite à $M$ (et il y a une tangente : la tangente en $M$ à $C$) ; si $M$ est extérieur à $C$, cette intersection est une paire (il y a deux tangentes à $C$ issues de $M$, orthogonalement symétriques par rapport à $(OM)$).

b) $f(O)f(M)=|k|OM$ donc $M\in C\Leftrightarrow f(O)f(M)=|k|R$, c'est-à-dire $N\in f(C)\Leftrightarrow f(O)N=|k|R$.

c) D'après b), une telle dilatation $f$ avoir un rapport $k$ tel que $R'=|k|R$, c'est-à-dire $k=\pm R'/R$, et doit de plus envoyer $O$ sur $O'$, ce qui complète sa détermination. Le seul cas où c'est une translation est $f_{+}$ dans le cas $R'=R$, et le vecteur est alors ${\overrightarrow {OO'}}$. Dans les autres cas, le centre $\Omega _{+}$ de $f_{+}$ est donné par ${\overrightarrow {O'\Omega _{+}}}=(R'/R){\overrightarrow {O\Omega _{+}}}$, c'est-à-dire ${\overrightarrow {O\Omega _{+}}}={R \over R-R'}{\overrightarrow {OO'}}$. De même (dans tous les cas) le centre $\Omega _{-}$ de $f_{-}$ est donné par ${\overrightarrow {O'\Omega _{-}}}=-(R'/R){\overrightarrow {O\Omega _{+}}}$, c'est-à-dire ${\overrightarrow {O\Omega _{-}}}={R \over R+R'}{\overrightarrow {OO'}}$.

d) (On utilise deux fois que toute dilatation transforme une droite en une droite parallèle). Si $D$ est tangente à $C$ en $A$, $f_{+}(D)$ est une droite passant par $A_{+}=f_{+}(A)\in C'$ et parallèle à $D$ donc perpendiculaire à $(OA)$, et $(O'A_{+})$ est parallèle à $(OA)$, donc $f_{+}(D)$ est perpendiculaire à $(O'A_{+})$, donc est tangente à $C'$ en $A_{+}$. Idem pour $f_{-}(D)$. De plus, $A_{+}\neq A_{-}$ car ${\overrightarrow {O'A_{-}}}=-(R'/R){\overrightarrow {OA}}=-{\overrightarrow {O'A_{+}}}$. Donc les deux tangentes à $C'$ parallèles à $D$ sont exactement $f_{+}(D)$ et $f_{-}(D)$. Or $D$ est tangente à $C$ si et seulement si elle est égale à l'une de ces deux tangentes. Donc $D$ est tangente à $C$ si et seulement si elle est (globalement) invariante par $f_{+}$ ou par $f_{-}$ (et ces deux cas s'excluent mutuellement puisque $f_{+}(D)\neq f_{-}(D)$), donc si et seulement si elle passe par soit $\Omega _{+}$, soit par $\Omega _{-}$ (dans le cas particulier $R'=R$, il faut remplacer la condition « $D$ passe par $\Omega _{+}$ » par « $D$ est parallèle à $(OO')$ »).

e) D'après la question a), pour trouver le nombre de tangentes communes à $C,C'$ (c'est-à-dire le nombre de tangentes $D$ à $C$ vérifiant la condition ci-dessus), il faut (dans le cas général $R'\neq R$) étudier à la fois la position de $\Omega _{+}$ et $\Omega _{-}$ par rapport à $C$. Or $O\Omega _{-}>R\Leftrightarrow OO'>R+R'$ donc $\Omega _{-}$ est extérieur à $C$ si et seulement si $C$ et $C'$ sont strictement extérieurs l'un à l'autre (et $\Omega _{-}\in C$ si et seulement si $C$ et $C'$ sont tangents extérieurement, et $\Omega _{-}$ est intérieur à $C$ si et seulement si $C$ et $C'$ sont sécants ou intérieur l'un à l'autre, avec tangence éventuelle). De même, $O\Omega _{+}>R\Leftrightarrow OO'>|R-R'|$ donc $\Omega _{+}$ est extérieur à $C$ si et seulement si $C$ et $C'$ sont sécants ou extérieur l'un à l'autre, avec tangence éventuelle (et $\Omega _{+}\in C$ si et seulement si $C$ et $C'$ sont tangents intérieurement, et $\Omega _{+}$ est intérieur à $C$ si et seulement si l'un des deux cercles est strictement intérieur à l'autre).

En conclusion (si $R'\neq R$), le nombre de tangentes communes à $C$ et $C'$ est donc :

• $2+2=4$ s'ils sont strictement extérieurs l'un à l'autre ;
• $1+2=3$ s'ils sont tangents extérieurement ;
• $0+2=2$ s'ils sont sécants ;
• $0+1=1$ s'ils sont tangents intérieurement ;
• $0+0=0$ si l'un est strictement intérieur à l'autre.

Dans le cas particulier $R'=R$, l'étude de la position de $\Omega _{+}$ est remplacée par : $C$ a toujours deux tangentes parallèles à $(OO')$. Le nombre de tangentes communes à $C,C'$ est alors :

• $2+2=4$ si $C$ et $C'$ sont strictement extérieurs l'un à l'autre ;
• $1+2=3$ si $C$ et $C'$ sont tangents extérieurement ;
• $0+2=2$ si $C$ et $C'$ sont sécants.

 

Exercice 5-2

On se place dans un plan affine euclidien $P$. Soient $C,C',C''$ trois cercles de centres $O,O',O''$ non alignés et de rayons $R,R',R''$ non nuls. La puissance par rapport à $C$ d'un point $M$ du plan est par définition $P_{C}(M)=OM^{2}-R^{2}$. L'axe radical de $C$ et $C'$ est par définition l'ensemble $D_{C,C'}$ des points $M$ tels que $P_{C}(M)=P_{C'}(M)$ (on va démontrer dans a) et b) que c'est une droite).

a) En notant $M_{t}=tO+(1-t)O'$ et en considérant l'application $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto P_{C}(M_{t})-P_{C'}(M_{t})$, montrer que $(OO')\cap D_{C,C'}$ est non vide.

b) Pour tout $H\in D_{C,C'}$, montrer que $D_{C,C'}$ est la perpendiculaire à $(OO')$ passant par $H$.

c) Montrer que les trois droites $D_{C,C'},D_{C',C''},D_{C'',C}$ sont concourantes.

d) On suppose désormais que $C,C',C''$ sont sécants deux à deux et l'on note $\Delta$ la droite joignant les deux points de $C'\cap C''$, $\Delta '$ celle joignant les deux points de $C''\cap C$ et $\Delta ''$ celle joignant les deux points de $C\cap C'$. Déduire de c) que ces trois droites sont concourantes.

e) On veut redémontrer d) par une autre méthode. On plonge pour cela le plan $P$ dans un espace affine euclidien $E$ de dimension $3$, et l'on suppose par exemple $R\geq R',R''$. On choisit deux sphères de $E$ de rayon $R$ dont les intersections avec $P$ soient $C',C''$, on note $I,J$ leurs centres respectifs, et l'on note $\Pi ,\Pi ',\Pi ''$ les plans médiateurs respectifs de $(I,J),(J,O),(O,I)$. Démontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent $P$ suivant les droites $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$. Conclure.

Solution

a) $P_{C}(M_{t})-P_{C'}(M_{t})=OM_{t}^{2}-O'M_{t}^{2}-R^{2}+R'^{2}=[(1-t)^{2}-t^{2}]OO'^{2}-R^{2}+R'^{2}=(1-2t)OO'^{2}-R^{2}+R'^{2}$ s'annule pour une (unique) valeur de $t$.

b) On a $P_{C}(M)-P_{C}(H)=OM^{2}-OH^{2}=2\langle {\overrightarrow {OH}},{\overrightarrow {HM}}\rangle +HM^{2}$ (et de même en remplaçant $C$ par $C'$ et $O$ par $O'$), et $P_{C}(H)=P_{C'}(H)$, donc $P_{C}(M)=P_{C'}(M)\Leftrightarrow 2\langle {\overrightarrow {OH}},{\overrightarrow {HM}}\rangle +HM^{2}=2\langle {\overrightarrow {O'H}},{\overrightarrow {HM}}\rangle +HM^{2}\Leftrightarrow \langle {\overrightarrow {OH}}-{\overrightarrow {O'H}},{\overrightarrow {HM}}\rangle =0\Leftrightarrow {\overrightarrow {HM}}\perp (OO')$.

c) $D_{C,C'}$ et $D_{C',C''}$ sont sécantes (car perpendiculaires respectivement à $(OO')$ et $(O'O'')$, qui sont sécantes car $O,O',O''$ non alignés). Soit $\Omega$ leur point d'intersection, on a $P_{C}(\Omega )=P_{C'}(\Omega )=P_{C''}(\Omega )$ donc $\Omega \in D_{C'',C}$.

d) Les deux points de $C'\cap C''$ ont même puissance (nulle) par rapport à $C'$ et $C''$, donc appartiennent à $D_{C',C''}$, donc $\Delta =D_{C',C''}$. Raisonnement analogue pour $\Delta ',\Delta ''$.

e) Remarquons d'abord que $O,I,J$ sont non alignés (comme leurs projetés orthogonaux sur $P$, $O,O',O''$), donc $\Pi ,\Pi '$ sont non parallèles (car perpendiculaires respectivement à $(IJ),(JO)$ qui sont sécantes). Soit donc $D$ la droite $\Pi \cap \Pi '$. Tout point de $D$ est équidistant de $I$ et $J$, et équidistant de $J$ et $O$, donc équidistant de $I$ et $O$, donc $D\subset \Pi ''$. $\Pi$ n'est pas parallèle à $P$ (car sa normale $(IJ)$ n'est pas perpendiculaire à $P$, car les projetés orthogonaux de $I$ et $J$ sur $P$, $O'$ et $O''$, sont distincts), donc $\Pi \cap P$ est une droite. Les deux points de $C'\cap C''$ sont à même distance ($R$) de $I$ et $J$, donc appartiennent à $\Pi$, donc à la droite $\Pi \cap P$, donc $\Delta =\Pi \cap P$. De même, $\Delta '=\Pi '\cap P$ et $\Delta ''=\Pi ''\cap P$. La droite $D$ commune à $\Pi ,\Pi ',\Pi ''$ est non parallèle à $P$, car $D$ est orthogonale au plan $(OIJ)$ qui n'est pas perpendiculaire à $P$ (car le projeté orthogonal sur ${\overrightarrow {P}}$ d'un vecteur non nul de la forme $\lambda {\overrightarrow {OI}}+\mu {\overrightarrow {OJ}}$ est $\lambda {\overrightarrow {OO'}}+\mu {\overrightarrow {OO''}}\neq 0$). Donc $D$ coupe $P$ en un point $\Omega$. D'après ce qui précède, $\Omega$ appartient à $\Delta ,\Delta ',\Delta ''$.