Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues

Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Exercices no4
Leçon : Géométrie affine

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Barycentres
Exo suiv. :Espaces affines euclidiens
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Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
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Wikipédia possède un article à propos de « Mesure algébrique ».

Étant donnés trois points alignés tels que , la notation désigne le scalaire tel que .

Exercice 4-1Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Thalès ».

Dans un espace affine, on se donne deux droites   et   et trois hyperplans parallèles distincts intersectant   et   respectivement en   et  , en   et   et en   et  .

Démontrer que   (théorème de Thalès).

Exercice 4-2Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ménélaüs ».

Soit dans un plan affine un triangle  , et trois points   appartenant respectivement aux droites   et distincts des sommets  .

On veut démontrer que   sont alignés si et seulement si

 .
  1. On suppose   alignés.
    Soient   l'homothétie de centre   telle que   et   l'homothétie de centre   telle que  . On note   le rapport de  .
    1. Montrer que les deux droites   et   sont stables par  .
    2. En déduire que   est une homothétie de centre  .
    3. En explicitant   et  , en déduire la relation  .
  2. Réciproquement, on suppose   vérifiée.
    1. En remarquant que  , montrer que   et   sont sécantes.
    2. En considérant le point   d'intersection de   et   et les résultats de la première question, montrer que   et en déduire que les points   sont alignés.

Soient   un repère affine de   et     points quelconques.

  1. On note  $ la  -ème coordonnée barycentrique de   dans  . Montrer que   est un repère affine de   si et seulement si  .
  2. Dans le cas particulier  , en déduire que   est un repère affine de   si et seulement si  .

Exercice 4-3Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ceva ».

Soit dans un plan affine un triangle  , et trois points   appartenant respectivement aux droites   et distincts des sommets  .

On veut démontrer que les trois droites  ,   et   sont parallèles   ou concourantes   si et seulement si

 .
  1. On suppose  . En appliquant le théorème de Thalès, montrer que   et  . En déduire  .
  2. On suppose   et l'on note   le point commun aux trois droites  ,   et  .
    1. En appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle   et à la droite  , montrer que  .
    2. Montrer qu'on a de même  .
    3. En déduire  .
  3. Réciproquement, on suppose  .
    1. On suppose   et   sécantes en un point   et l'on désigne par   le point de concours de   et  . En appliquant la question 2, montrer que   et en déduire que  . En déduire que   et finalement  .
    2. En déduire que si   et   sont parallèles alors  .
  4. (Variante des questions 2 et 3.1). On pose
     .
    1. Soit   (avec  ) un point quelconque de  . On veut trouver à quelle condition (sur  ) ce point   appartient à la droite  .
      a) Déterminer (en fonction de  ) les coordonnées barycentriques de   dans le repère affine   de la droite  .
      b) En déduire que si   est un barycentre de   et   alors  .
      c) Vérifier la réciproque et conclure.
      d) Énoncer (sans démonstration) la condition analogue pour que   appartienne à   (resp.  ).
    2. On suppose dans cette sous-question que les deux droites   et   sont sécantes en   (avec  ). Déduire de la sous-question précédente que   si et seulement si  .

Exercice 4-4Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Desargues ».

Soient   un espace affine,   trois droites affines distinctes qui se coupent en un point  .

Soient   (resp.  , resp.  ) deux points distincts de   (resp.  , resp.  ).

On suppose que   et   se coupent en un point  ,   et   se coupent en un point  , et   et   se coupent en un point  .

  1. Montrer qu'il existe un unique   tel que  ,   et  .
  2. Montrer que  , puis   et  . Déterminer (en fonction de  ) les coordonnées barycentriques de   dans le repère affine   de la droite affine  , puis celles de   dans le repère affine   et celles de   dans le repère affine  .
  3. En déduire que   sont alignés. (Remarque : c'est une version faible du théorème de Desargues qui, sans supposer a priori   concourantes, énonce qu'elles le sont si et seulement si   sont alignés).