Identités remarquables/Quotient

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Dans ce chapitre, nous allons étudier la méthode permettant d'effectuer des opérations sur des fractions écrites sous forme littérale en utilisant des identités remarquables.

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Simplification de fraction

Nous savons que pour tout $b$ et $c$ non nul, on a :

${\frac {a\times c}{b\times c}}={\frac {a}{b}}$

On peut alors imaginer que $c$, qui est le facteur par lequel on simplifie la fraction, représente, non pas un simple nombre, mais une expression quelconque.

Par exemple, si l'on pose :

${\begin{cases}a=xy-3\\b=x^{2}+4\\c=x^{2}+y^{2}\end{cases}}$

on obtient :

${\frac {(xy-3)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+4)(x^{2}+y^{2})}}={\frac {xy-3}{x^{2}+4}}$

En supposant, bien sûr que $c$ n'est pas nul, ce qui entraîne que $x$ et $y$ ne sont pas nuls.

Nous voyons donc que l'on pourra simplifier une fraction sous forme littérale si nous réussissons, grâce à la factorisation du numérateur et du dénominateur, à faire apparaître une expression littérale commune en facteur au numérateur et au dénominateur. C'est ici que les identités remarquables peuvent nous être utiles.

Prenons un exemple simple !

Exemple. Simplifier le quotient suivant : ${\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ Réponse. On peut difficilement faire plus simple ! On reconnait au numérateur et au dénominateur des identités remarquables. On obtient donc : ${\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)(a-b)}}={\frac {(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}}={\frac {a-b}{a+b}}$ Nous avons détaillé au maximum pour que vous compreniez bien le processus, mais vous n'êtes pas obligé d'en faire autant.

Réduction au même dénominateur

Pour additionner ou soustraire plusieurs fractions, nous devons commencer par les réduire au même dénominateur. Pour trouver le dénominateur commun le plus simple, nous devons commencer par factoriser les différents dénominateurs et prendre le produit des facteurs en présence. Là aussi les identités remarquables peuvent être utiles.

Exemple. Effectuer la somme suivante : ${\frac {3x-1}{x^{2}-x}}+{\frac {x+5}{x^{2}-1}}$ L'erreur à ne pas commettre ici est de dire que le dénominateur commun est $(x^{2}-x)(x^{2}-1)$. On peut, en effet, trouver plus simple en commençant par factoriser les dénominateurs. En effet, en remarquant que dans le dénominateur de la première fraction on peut mettre $x$ en facteur et en utilisant une identité remarquable dans le dénominateur de la deuxième fraction, l'expression peut s'écrire : ${\frac {3x-1}{x(x-1)}}+{\frac {x+5}{(x+1)(x-1)}}$ Et nous voyons apparaître un dénominateur commun plus simple qui est $x(x+1)(x-1)$. Pour obtenir ce dénominateur commun, on doit alors multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par $(x+1)$ et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par $x$. On obtient : ${\frac {(3x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}}+{\frac {x(x+5)}{x(x+1)(x-1)}}$ Il ne nous reste plus qu'à additionner les numérateurs : ${\frac {(3x-1)(x+1)+x(x+5)}{x(x-1)(x+1)}}$ et à développer le numérateur obtenu : ${\frac {3x^{2}+3x-x-1+x^{2}+5x}{x(x-1)(x+1)}}$ et finalement, réduire le numérateur : ${\frac {4x^{2}+7x-1}{x(x-1)(x+1)}}$ En résumé, on a obtenu : ${\frac {3x-1}{x^{2}-x}}+{\frac {x+5}{x^{2}-1}}={\frac {4x^{2}+7x-1}{x(x-1)(x+1)}}$