Identités remarquables/Factorisation

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Nous avons déjà, dans la leçon Calcul littéral, commencé à étudier la factorisation. Nous allons, dans ce chapitre, continuer cette étude en envisageant des méthodes plus élaborées.

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Définition

En mathématiques, factoriser signifie décomposer un polynôme en un produit de facteurs.

En général, il y a quatre méthodes pour factoriser un polynôme :

• La mise en évidence
• La mise en évidence successive
• Les identités remarquables
• Le trinôme du 2^e degré

Méthodes de factorisation

La mise en évidence

Prenons un exemple :

$ac+ad$

Nous pouvons constater qu’il y a un facteur commun, qui est "a". Nous allons donc le mettre en évidence, pour faire en sorte qu’il distribue les autres facteurs. La factorisation est la suivante :

$a(c+d)$

La mise en évidence successive

Prenons un exemple :

$ma+mb+na+nb$

Nous voyons deux fois deux facteurs communs (il y en a quatre fois deux en réalité mais c’est pour l'exemple) qui sont "m" et "n". Nous allons les mettre en évidence pour qu’ils distribuent chaque autre facteur, mais successivement :

$m(a+b)+n(a+b)$

Nous pouvons encore factoriser de la manière suivante, vu que nos termes "m" et "n" distribuent les mêmes binômes "(a+b)", ce qui donne au final :

$(a+b)(m+n)$

Les identités remarquables

Le carré d'une somme (1e)

Nous pouvons commencer par un exemple du carré d'une somme :

$4+4x+x^{2}$

Nous voyons directement qu’il s'agit de la première identité remarquable, (le carré d'une somme). Nous voyons deux carrés parfaits plus les deux produits de leur racine. Ce qui donne :

$(2+x)^{2}$

Le carré d'une différence (2e)

Un autre exemple avec le carré d'une différence :

$9-6x+x^{2}$

Il s'agit du carré d'une différence par ses deux carrés parfaits moins le double produit de ses deux termes. La factorisation sera donc :

$(3-x)^{2}$ ou $(x-3)^{2}$

Le carré d'une somme par une différence (3e)

Un dernier exemple avec le carré d'une somme pas une différence :

$9x^{2}-25$

Nous voyons le premier terme au carré moins le deuxième termes au carré, donc c'est la troisième identité remarquable à utiliser. En factorisant, nous trouvons :

$(3x+5)(3x-5)$

Le trinôme du 2^e degré

Prenons l'expression suivante :

$x^{2}+7x+10$

À ne pas confondre avec une identité remarquable ! Cela prête à confusion.

Passons directement à la réponse avec quelques explications :

$(x+2)(x+5)$

$(a+b)(a+c)$

Il n'y a pas de méthode exacte si ce n'est que le premier terme est un carré parfait, que le second est une addition du terme "b + c" multiplié par "a" et que le dernier est la multiplication des terme "b" et "c". Si nous voulons définir une règle, nous pouvons la faire de la manière suivante :

$(a+b)(a+c)=a^{2}+[a(b+c)]+bc$

Ou, pour plus simplifier encore :

$a^{2}+ab+ac+bc$.