Initiation à l'élasticité/Principe fondamental de la statique

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction

L'objectif est de déterminer ${\tilde {\sigma }}$ en tout point M de V.

Le principe fondamental de la statique est l'équation mécanique qui gouverne les systèmes sollicités. On cherche à écrire le PFS avec ${\tilde {\sigma }}$ pour pouvoir utiliser les équations pour résoudre le problème.

Expression globale

On parle d'expression globale car l'équation concerne l’ensemble du volume considéré.

thumbs

On veut le PFS pour un volume V. On fait le bilan des sollicitations:

• Forces de surface: elles peuvent être exprimées par des vecteurs contraintes dont la résultante est égale aux efforts appliqués.
• Forces de volume : elles sont appliquées par unité de volume.

Exemple

• Forces de surface: on les traduit en contraintes en considérant la surface sur laquelle elles sont appliquées.

thumbs

• Forces de volume: le poids.

Objet = 1 000 kg

masse volumique $\rho \,$

Poids de l'objet: ${\vec {g}}.{\int }_{V}\rho \mathrm {d} V$

Soit S' la surface de S pour laquelle on calcule les sollicitations et les vecteurs contraintes appliqués (définis par les conditions limites).

Les sollicitations extérieures sont définies par ${\vec {C_{ext}}}\,$ sur S' et par ${\vec {f}}$ la force de volume exprimée par unité de volume.

On veut écrire le PFS pour V:

• Forces :

$\int _{S'}{\vec {C_{e}xt}}\mathrm {d} S+\int _{V}{\vec {f}}\mathrm {d} V=0$

• Moments: On écrit l'équilibre des moments par rapport à 0 (origine d'un repère (O, x, y, z) orthonormé).

Soit $M\in V{\vec {OM}}$ position de M.

• • Moment de ${\vec {C}}/0\,$ :

${\vec {OM}}\land {\vec {C}}$, M point d'application de C.

$\int _{S'}{\vec {OM}}\land {\vec {C^{ext}}}.\mathrm {d} S+\int _{V}{\vec {OM}}\land {\vec {f}}\mathrm {d} V=0$

On veut faire apparaitre ${\tilde {\sigma }}$:

On a ${\vec {C^{ext}}}={\tilde {\sigma }}.{\vec {n^{ext}}}$

${\vec {n^{ext}}}\rightarrow \,$ normal à S'

Forme globale du PFS

$\int _{S'}{\vec {OM}}\land ({\tilde {\sigma }}.{\vec {n^{ext}}})\mathrm {d} S'+\int _{V}({\vec {OM}}\land {\vec {f}})\mathrm {d} V=0$

Cette équation est valable pour tout système mécanique statique. Cependant ce qui nous intéresse est la forme locale.

Forme locale du PFS

La forme locale est déterminée à partir de la forme globale, elle est utile pour les calculs en analytique.

Théorème de la divergence

[[[Analyse_vectorielle/Divergence#Théorème_de_la_divergence|Théorème de la divergence]]]

$\int _{S}{\tilde {\sigma }}.{\vec {n}}\mathrm {d} V=\int _{V}div({\tilde {\sigma }})\mathrm {d} V=0$ où ${\vec {n}}$ est le vecteur perpendiculaire à S.

$\int _{S}[{\vec {f}}+div({\tilde {\sigma }})]\mathrm {=} 0$ le PFS est vrai pour tout V et pour tout V' inclus dans V.

alors: ${\vec {f}}+div({\tilde {\sigma }})=0$

La forme locale du PFS est la suivante:

${\vec {f_{M}}}+div({\tilde {\sigma }}_{M})={\vec {0}}$

On a une symétrie de ${\tilde {\sigma }}$

La forme locale est un outil mathématique qui traduit l'équilibre d'un système.