Initiation à la statistique/Introduction

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Qu’est ce que les statistiques ?

C’est une théorie mathématique dont le but est :

• Organiser des données en grand nombre pour pouvoir les interpréter.
  • Calculer une moyenne permet de résumer en un seul nombre un grand nombre de notes.
  • Calculer un pourcentage permet de résumer en un seul nombre la relation d’un ensemble à une de ses parties.
• Les statistiques sont très utilisées :
  • Dans le commerce, la finance…
  • En sciences humaines : histoire, économie, médecine, géographie…

Les résultats d’une enquête consistent en une liste désordonnée d’informations, dont il est difficile d’extraire la signification sans un traitement mathématique préalable.

Exemple 1 : Les notes des élèves d’une classe à un devoir

Les élèves d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un devoir :

Notes sur 20  : 10, 9, 12, 11, 10, 8, 14 ,11 ,9 ,16 ,5 ,12 ,10 ,11 ,10 ,13

Pour mieux comprendre ces données, on les trie par ordre croissant :

Notes triées : 5, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 16

Cette présentation reste peu convaincante, on décide alors de présenter les résultats de l’enquête sous forme d’un tableau d’effectifs.

Tableau des effectifs

L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.

Exemple 1: notes des élèves

notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
effectifs	1	1	2	4	3	2	1	1	1	16

Tableau des effectifs cumulés

Il sert à visualiser la vitesse de croissance des effectifs en fonction du caractère étudié. On l’utilise en troisième pour déterminer la médiane d’une série statistique.

Reprenons l’exemple 1 des notes des élèves :

notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16
effectifs	1	1	2	4	3	2	1	1	1
effectifs cumulés	1	2	4	8	11	13	14	15	16

Tableau des fréquences

Lorsque la population étudiée est trop grande, ou bien lorsque l’on cherche à faire la comparaison entre deux populations de tailles différentes, on préfère se ramener à une population de 100, donc travailler en pourcentages, appelés ici fréquences.

La fréquence de la note 10, par exemple, se calcule ainsi :

${\rm {{\frac {Effectif\ de\ la\ note\ 10}{Effectif\ total}}={\frac {4}{16}}=0,25=25\%}}$

En procédant de même pour les autres notes, on obtient le tableau des fréquences suivant :

notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16	Total
fréquences en %	6,25	6,25	12,50	25,00	18,75	12,50	6,25	6,25	6,25	100

Tableau des fréquences cumulées

En procédant comme pour les effectifs cumulés, on peut construire un tableau des fréquences cumulées, par exemple avec l'exemple 1 des notes :

notes	5	8	9	10	11	12	13	14	16
fréquences en %	6,25	6,25	12,50	25,00	18,75	12,50	6,25	6,25	6,25
fréquences cumulées en %	6,25	12,5	25	50	68,75	81,25	87,5	93,75	100

Exemple 2 : La couleur préférée

On a demandé à 13 personnes leur couleur préférée.

Couleur préférée : bleu, rouge, bleu, bleu, jaune, bleu, rouge, bleu, bleu, jaune, jaune, bleu, jaune

Pour mieux comprendre ces résultats, on les trie par couleur :

Couleurs préférées triées : bleu, bleu, bleu, bleu, bleu, bleu, bleu, rouge, rouge, jaune, jaune, jaune, jaune

Cette liste reste peu éclairante, on présente les résultats de l’enquête sous forme d’un tableau d’effectifs.

Tableau des effectifs

Exemple 2: couleur préférée

Couleurs	Effectifs
Bleu	7
Rouge	2
Jaune	4
Total	13

Tableau des fréquences

En procédant comme dans l’exemple précédent, on obtient le tableau des fréquences :

Couleurs	Fréquences en %
Bleu	53,85
Rouge	15,38
Jaune	30,77
Total	100

Diagramme circulaire

Les diagrammes statistiques servent à prendre connaissance de l’essentiel d’une étude statistique en un seul coup d'œil. Le type de diagramme utilisé dépend de l'étude.

Le caractère statistique étudié ici, la couleur, n’est pas un nombre. On dit qu’il est qualitatif.

On construit alors un diagramme circulaire (ou « camembert ») : on découpe un cercle en secteurs dont la surface (et donc l’angle) est proportionnelle à l’effectif ou la fréquence.

Complétons le tableau par le calcul des angles au centre.

Couleurs	Fréquences en %	Angle en degré
Bleu	53,85	194
Rouge	15,38	55
Jaune	30,77	111
Total	100	360

Il ne reste plus qu’à dessiner les secteurs :

Notion de moyenne : Exemple de la taille des élèves

Exemple 3 : Moyenne simple

Voici les tailles de 5 élèves, la taille moyenne est celle d’un élève idéal ni trop grand ni trop petit. Y a-t-il un élève qui ait la taille « représentative » de la classe et quelle est cette taille ?

Tailles en cm

178

180

182

181

179

En additionnant tous les résultats et en divisant par le nombre d’individus dans la classe, nous obtiendrons ce que l’on appelle la moyenne.

$178+180+182+181+179$$=900$

${\frac {900}{5}}$$=180$

La moyenne est donc 180 cm

Exemple 4 : Moyenne pondérée par les effectifs

Voici maintenant un groupe plus important d'élèves, dont certains ont la même taille. Peut-on calculer la taille moyenne sans additionner toutes les tailles (ce qui est long et pénible)?

Il faut d’abord construire le tableau des effectifs :

Taille	178	179	180	181	182	Effectif
Effectif	5	2	3	1	4	5+2+3+1+4=15
Taille × effectif	178 × 5	179 × 2	180 × 3	181 × 1	182 × 4	Somme des tailles
Produit	890	358	540	181	728	890+358+540+181+728=2697

La moyenne est ici le total des tailles à diviser par le nombre d'élèves : soit 2697/15 = 179,8 cm

Exemple 4 : Diagramme en bâtons

Le caractère statistique étudié ici, la taille, est un nombre. Un diagramme circulaire ne rendrait pas compte de sa grandeur. On construit alors un diagramme en bâtons (ou en barres).

Elevons pour chaque mesure un trait vertical proportionnel au nombre d'élèves.

Répartition des 15 élèves selon leur taille en cm.

Regroupement en classes : Exemple des salaires

Lorsque le caractère statistique prend un grand nombre de valeurs différentes, elles peuvent être regroupées en classes (ou intervalles, ou tranches …).

En quatrième, on travaille toujours avec des classes de même largeur.

Tableau des effectifs

Exemple 5 : Répartition des revenus annuels en milliers d’euros dans une population de 4370 personnes.

Salaires	entre 5 (inclus) et 10 exclus	entre 10 (inclus) et 15 exclus	entre 15 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 25 exclus	entre 25 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 35 exclus	entre 35 (inclus) et 40 exclus	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370

Tableau des fréquences

Les effectifs ici sont trop grands pour que l’on puisse se faire une idée simple de la répartition, on préfère alors travailler en pourcentages ou fréquences et se ramener ainsi à une population de 100.

Salaires	entre 5 (inclus) et 10 exclus	entre 10 (inclus) et 15 exclus	entre 15 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 25 exclus	entre 25 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 35 exclus	entre 35 (inclus) et 40 exclus	Total
Fréquences	7,0	5,3	8,8	27,0	33,6	13,0	5,3	100

Moyenne

Quand on regroupe une série statistique en classe, on calcule la moyenne en prenant comme valeurs les centres de chaque classe.

Salaires	entre 5 (inclus) et 10 exclus	entre 10 (inclus) et 15 exclus	entre 15 (inclus) et 20 exclus	entre 20 (inclus) et 25 exclus	entre 25 (inclus) et 30 exclus	entre 30 (inclus) et 35 exclus	entre 35 (inclus) et 40 exclus	Total
Effectifs	306	231	385	1180	1468	568	232	4370
centre de chaque classe	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	total des salaires
Total des salaires de chaque classe	2295	2887,5	6737,5	26550	40370	18460	8700	106000

Le salaire moyen parmi cet échantillon est donc de 106000/4370 = 24,25 soit environ 24250 Euros.

Histogramme

On représente cette étude statistique par un histogramme, formé de rectangles qui recouvrent toutes les classes considérées.