Initiation aux matrices/Introduction

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Nous présentons, dans ce chapitre, un nouvel objet mathématique que l'on appelle matrice.

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Définition d'une matrice

Une matrice est, dans une première approche, un tableau de nombres que l'on appellera coefficients de la matrice. Nous ne précisons pas de quels nombres il s'agit, car ce peut être tout type de nombre : nombres entiers, rationnels, réels, complexes, etc.

${\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3&3\\-5&5\\7&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2\\8\\6\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3&{\sqrt {3}}&8\\{\frac {1}{2}}&9&-7\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}4&-1&{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3&i&4\\7&5&8\\7&5&-1\end{pmatrix}}$

sont des exemples de matrices.

Lignes et colonnes de matrices

Nous voyons que chaque matrice se caractérise par un certain nombre de lignes et par un certain nombre de colonnes.

${\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}$ a 2 lignes et 2 colonnes.

${\begin{pmatrix}3&3\\-5&5\\7&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ a 3 lignes et 2 colonnes.

${\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}}$ a 1 ligne et 1 colonne.

${\begin{pmatrix}-2\\8\\6\end{pmatrix}}$ a 3 lignes et 1 colonne.

${\begin{pmatrix}3&{\sqrt {3}}&8\\{\frac {1}{2}}&9&-7\end{pmatrix}}$ a 2 lignes et 3 colonnes.

${\begin{pmatrix}4&-1&{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}$ a 1 ligne et 3 colonnes.

${\begin{pmatrix}3&i&4\\7&5&8\\7&5&-1\end{pmatrix}}$ a 3 lignes et 3 colonnes.

Les matrices qui n'ont qu'une colonne seront appelées matrices colonnes.

${\begin{pmatrix}-2\\8\\6\end{pmatrix}}$ est une matrice colonne.

Les matrices qui n'ont qu'une ligne seront appelées matrices lignes.

${\begin{pmatrix}4&-1&{\frac {5}{3}}\end{pmatrix}}$ est une matrice ligne

Les matrices qui n'ont qu'une ligne et qu'une colonne seront identifiées au seul nombre qu'elles contiennent. Cela se justifie dans la mesure où les propriétés (addition et multiplication de matrices) que nous verrons au chapitre suivant sont identiques à l'addition et la multiplication de nombres dans ce cas particulier. On ne parlera donc plus des matrices ayant une ligne et une colonne.

Notations

Une matrice est donc un tableau de nombres. Conventionnellement, si l'on veut représenter une matrice de façon générale sans préciser la valeur de ses coefficients, on désignera un des coefficients de la matrice par une lettre affectée de deux indices, le premier indice représentant la ligne et le deuxième la colonne.

Par exemple $a_{2,3}$ représente le coefficient se trouvant à l'intersection de la deuxième ligne avec la troisième colonne.

Une matrice de 3 lignes et 4 colonnes se représentera ainsi :

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&a_{1,4}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&a_{2,4}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}\end{pmatrix}}$.

Matrices carrées

Nous accorderons une importance particulière aux matrices qui ont autant de lignes que de colonnes. Ces matrices seront appelées matrices carrées.

Une matrice ayant 2 lignes et 2 colonnes sera appelée matrice carrée d'ordre 2.

Une matrice ayant 3 lignes et 3 colonnes sera appelée matrice carrée d'ordre 3.

Plus généralement, une matrice ayant n lignes et n colonnes sera appelée matrice carrée d'ordre n.

Si ces matrices jouent un rôle important, c'est parce qu'elles sont stables pour la multiplication des matrices que nous verrons au chapitre suivant.

Nous verrons, en effet, que le produit d'une matrice carrée d'ordre n par une matrice carrée d'ordre n est une matrice carrée d'ordre n.

Nous appellerons diagonale principale d'une matrice carrée, l’ensemble des nombres placés en diagonale sur la matrice allant de $a_{1,1}$ à $a_{n,n}$ si la matrice est d'ordre n.

Une matrice carrée sera dite matrice diagonale si tous ses coefficients sont nuls, sauf éventuellement ceux qui se trouvent sur la diagonale principale.

Par exemple :

${\begin{pmatrix}7&0&0&0&0&0\\0&-2&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&3&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

est une matrice diagonale d'ordre 6.