Initiation aux probabilités/Calculs de probabilités

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Nous abordons dans ce chapitre quelques situations simples de calcul des probabilités.

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Formule de Poincaré sur deux événements

La formule de Poincaré (connue aussi sous le nom de formule du crible) permet d'exprimer la probabilité d'une disjonction d'événements en fonction des probabilités de ces événements. Dans cette leçon, nous nous limiterons à deux événements.

La disjonction des deux événements $A$, $B$ se note $A\cup B$ et se lit « $A$ ou $B$ ».

Soit deux événements : Le premier est l'événement $A$, le second est l'événement $B$.

Cette représentation est une représentation issue de la théorie des ensembles. La partie $A\cap B$ (en bleu sur le dessin) représente l'événement « $A$ et $B$ ».

L'événement $A\cup B$ est la réunion de tout ce qui est coloré sur le dessin.

Nous noterons aussi $A'$ la partie de $A$ qui exclut $A\cap B$ (partie en rouge sur le dessin ci-dessous).

Nous noterons aussi $B'$ la partie de $B$ qui exclut $A\cap B$.

Nous voyons que $A'$ et $A\cap B$ sont incompatibles. D'après la troisième règle fondamentale, nous avons donc :

$p(A)=p(A')+p(A\cap B)$

De même, nous voyons que $B'$ et $A\cap B$ sont incompatibles. D'après la troisième règle fondamentale, nous avons aussi :

$p(B)=p(B')+p(A\cap B)$

Comme les trois événements $A'$, $A\cap B$ et $B'$ sont incompatibles, nous aurons :

$p(A\cup B)=p(A')+p(A\cap B)+p(B')=p(A')+p(A\cap B)+p(B')+p(A\cap B)-p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Nous retiendrons la formule :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Arbre des possibles

Une méthode pratique pour représenter une suite d'événements est d'utiliser une représentation en arbre.

Un arbre permet de visualiser toutes les possibilités pouvant se produire dans une suite d'événements.

L'arbre ci-dessus représente la schématisation d'une expérience aléatoire se déroulant en trois étapes.

Dans la première étape, trois événements A, B et C peuvent survenir.

Dans la seconde étape, cinq événements D, E, F, G et H peuvent survenir mais pas dans n'importe quelle condition. Par exemple, l'événement F ne peut survenir que si l'événement B s'est produit à la première étape. Ils interviennent en fonction de la réalisation des événements précédents, ceux de la première étape.

Dans la troisième étape, nous voyons que sept événements I, J, K, L, M, N et O peuvent se produire. Chacun d'eux ne pourra éventuellement se produire que si l'un des événements correspondants s'est produit à la seconde étape. Par exemple, l'événement M ne pourra se produire que si l'événement G s'est produit à la seconde étape.

Ce que nous appellerons issue n'est qu'un résumé des événements qui ont dû se produire pour réaliser l'issue considérée. Par exemple l'issue (B; E; K) représente la production successive de l'événement B à la première étape, de l'événement E à la deuxième étape et de l'événement K à la troisième étape. L'issue (B; E; K) sera donc réalisée si les événements B, E et K se sont successivement réalisés. Et, bien sûr, nous allons nous intéresser à la probabilité qu'une issue se réalise.

Arbre des possibles pondérés

Un arbre des possibles va nous servir de support visuel pour effectuer des calculs de probabilité. Sur notre arbre visualisé dans le paragraphe précédent, nous allons rajouter des nombres exprimant des probabilités.

Chaque nombre rajouté exprime la probabilité pour qu'à partir d'un événement réalisé, on puisse réaliser l'événement suivant. Par exemple, en regardant notre arbre, nous voyons que, si l'événement B est réalisé à la première étape, alors l'événement F aura une probabilité de ${\frac {3}{5}}$ de se réaliser. Et, si l'événement F se réalise à la deuxième étape, alors l'événement L se réalisera à coup sûr à la troisième étape car sa probabilité de réalisation sera alors de 1.

Il faut noter que la probabilité de réalisation de l'événement F n'est pas de ${\frac {3}{5}}$ dans tous les cas de figure, mais est de ${\frac {3}{5}}$ seulement après que l'événement B se soit réalisé à la première étape. Nous appellerons cela une probabilité conditionnelle.

Nous remarquons aussi que l'on ne peut pas mettre n'importe quel nombre sur les branches. Il faut que la somme des probabilités présentes sur les branches partant d'un événement soit égale à 1. Par exemple, après que l'événement D se soit réalisé, l'événement I aura une probabilité de ${\frac {3}{5}}$ de se réaliser et l'événement J aura une probabilité de ${\frac {2}{5}}$ de se réaliser, et on a bien : ${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{5}}=1$.

Arbre équilibré

Nous dirons qu'un arbre est équilibré si, à chaque étape, le même nombre de branches part de chaque événement avec la même probabilité. En fait, nous faisons là une hypothèse simplificatrice car si un arbre est équilibré, pour des raisons de symétrie, chaque issue aura la même probabilité de se produire. Nous serons alors dans un cas d'équiprobabilité et nous pourrons alors facilement résoudre le problème posé en utilisant la formule vue dans le chapitre précédent.

Exemple. On tire une carte d'un jeu de cartes, on la remet dans le jeu et on retire à nouveau une carte. Quelle est la probabilité d'avoir tiré au moins un trèfle? Réponse À chaque tirage, on tire avec une probabilité de ${\frac {1}{4}}$, soit un trèfle, soit un carreau, soit un cœur, soit un pique. On peut représenter les deux tirages successifs par l'arbre suivant : Pour des raisons de symétrie, nous voyons que les issues sont équiprobables. Comme il y a 7 issues favorables où il y a au moins un trèfle et 16 issues possibles, la probabilité d'avoir au moins un trèfle sera donc : ${\frac {cas\,favorables}{cas\,possibles}}={\frac {7}{16}}$

Si l'arbre n'est pas équilibré, les calculs sont moins simples et dépassent le cadre de cette leçon. Nous étudierons donc les arbres quelconques dans une leçon de niveau supérieur (voir la leçon : Probabilités conditionnelles).