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Intégrale double : Étude de l'intégration sur des compacts simples Intégrale double/Étude de l'intégration sur des compacts simples », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition — Compact élémentaire
On appelle compact élémentaire toute partie
K
⊂
R
2
{\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{2}}
ϕ
1
,
ϕ
2
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
ψ
1
,
ψ
2
:
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}:[c,d]\rightarrow \mathbb {R} }
K
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
,
a
≤
x
≤
b
e
t
ϕ
1
(
x
)
≤
y
≤
ϕ
2
(
x
)
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
,
c
≤
y
≤
d
e
t
ψ
1
(
y
)
≤
x
≤
ψ
2
(
y
)
}
{\displaystyle {\begin{aligned}K&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},a\leq x\leq b\ {\rm {{et}\ \phi _{1}(x)\leq y\leq \phi _{2}(x)\}}}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},c\leq y\leq d\ {\rm {{et}\ \psi _{1}(y)\leq x\leq \psi _{2}(y)\}}}\end{aligned}}}
Définition — Compact simple
On appelle compact simple toute réunion de compacts élémentaires
(
K
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (K_{i})_{i\in I}}
∀
i
≠
j
,
K
i
∘
∩
K
j
∘
=
∅
{\displaystyle \forall i\neq j,{\stackrel {\ \circ }{K_{i}}}\cap {\stackrel {\ \circ }{K_{j}}}=\emptyset }
modifier
Soit
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
ϕ
:
(
u
,
v
)
→
(
x
,
y
)
{\displaystyle \phi :(u,v)\rightarrow (x,y)}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
jacobien :
D
(
x
,
y
)
D
(
u
,
v
)
=
|
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
|
{\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}}
il vient alors, pour
f
:
ϕ
(
U
)
→
K
{\displaystyle f:\phi (U)\to \mathbb {K} }
∬
ϕ
(
U
)
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
U
f
(
ϕ
(
u
,
v
)
)
|
D
(
x
,
y
)
D
(
u
,
v
)
|
d
u
d
v
{\displaystyle \iint _{\phi (U)}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{U}f(\phi (u,v))\left|{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
Proposition
Pour
D
{\displaystyle D}
R
+
×
[
0
,
2
π
[
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \left[0,2\pi \right[}
Δ
=
ϕ
(
D
)
{\displaystyle \Delta =\phi (D)}
f
:
Δ
→
K
{\displaystyle f:\Delta \to \mathbb {K} }
∬
Δ
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
r
d
r
d
θ
{\displaystyle \iint _{\Delta }f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta }
Cet exemple est traité dans Calcul différentiel/Jacobien#Jacobien et matrice jacobienne .
![{\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae0cc0cbaa6723efcd8fa2ecf2bff27d5984eaf)
![{\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}:[c,d]\rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d6c74474da25c9d45193c6a2c17df876c28624)
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