Calcul différentiel/Jacobien

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Le jacobien est une généralisation de la dérivée et du gradient pour les fonctions de plusieurs variables. Cette notion a de nombreuses applications, en mathématiques mais aussi en robotique et en biologie.

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Gradient d'une fonction

La dérivée d'une fonction en un point donne l'équation de sa tangente.

Gradient d'une fonction

On rappelle que, si f est une fonction réelle des variables $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$, le gradient de f est la fonction vectorielle : $\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Une interprétation possible du gradient d'une nappe paramétrée est qu’il s'agit d'un vecteur normal à la nappe, c'est-à-dire orthogonal au plan tangent.

Notations

Si A est une matrice ou un vecteur, on note ^tA sa transposée. Notamment, on notera : $^{t}\nabla f$ la transposée du gradient de f.

Pour simplifier les notations, on notera : $\partial _{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ Le gradient, par exemple, s'écrira ainsi :

$\nabla f={\begin{pmatrix}\partial _{1}f\\\vdots \\\partial _{n}f\end{pmatrix}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f:\left(x,y,z\right)\mapsto 2x+3y+2xy+5$. Alors : $\nabla f={\begin{pmatrix}2+2y\\3+2x\\0\end{pmatrix}}$.

Fin de l'exemple

Jacobien et matrice jacobienne

Définition

Soit une fonction $f:x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\mapsto {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{m}(x)\end{pmatrix}}$, on définit la matrice jacobienne associée à f de la manière suivante :

$Jf={\begin{pmatrix}^{t}\nabla f_{1}\\\vdots \\^{t}\nabla f_{m}\end{pmatrix}}$

Autrement dit :

$Jf={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$.

On suppose maintenant que m = n. On appelle jacobien de f le déterminant de sa matrice jacobienne :

$\operatorname {Jac} f=\det \left(Jf\right)$.

Début de l'exemple

Exemple

On prend l'exemple du changement de coordonnées cartésiennes-polaires : $f:\left(r,\theta \right)\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \end{pmatrix}}$. Alors la matrice jacobienne de f est :

$Jf={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}$

donc le jacobien de f est :

$\operatorname {Jac} f=r$.

Fin de l'exemple

Notations

Il existe de nombreuses notations pour le jacobien, qui ont chacune leur intérêt. Mise à part celle utilisée dans cet article, on trouve :

$\left|{\frac {\partial \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\right|\qquad {\text{ou}}\qquad \left|{\frac {\mathrm {D} \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\right|$

Propriétés

Jacobien d'une composée

Le jacobien d'une composée de fonctions est le produit des jacobiens individuels.

Jacobien d'une réciproque

Le jacobien de la réciproque d'une fonction est l'inverse du jacobien de la fonction.

On peut interpréter le jacobien d'une application en termes de « modification » des volumes. Lors d'une transformation, un volume élémentaire sera multiplié par la valeur absolue du jacobien de la transformation. En particulier, un jacobien identiquement égal à 1 conserve les volumes. On note cela de la manière suivante : $\delta V'=\left|\operatorname {Jac} f\right|\delta V$.

Changement de variables

L'utilisation la plus courante du jacobien concerne le changement de variables dans les intégrales multiples.

Début d’un théorème

Théorème de changement de variable

De manière très informelle : il est possible d'effectuer des changements de variables dans les intégrales multiples. On utilise pour cela le jacobien.

Si l'on passe des variables $x_{1},\ldots ,x_{n}$ aux variables $\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ par une bijection de classe C¹ d'un ouvert D₂ dans D₁, si f est une fonction continue de D₁ dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$, alors : $\iint _{D_{1}}f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\,\mathrm {d} x_{1}\,\cdots \,\mathrm {d} x_{n}=\iint _{D_{2}}g\left(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\right)\cdot \left|{\frac {\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}{\mathrm {D} \left(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\right)}}\right|\,\mathrm {d} \theta _{1}\,\cdots \,\mathrm {d} \theta _{n}$

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple : aire d'un disque

On définit le domaine $D=\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}$. On veut calculer l'aire de ce domaine (il s'agit d'un disque de rayon R) :

${\mathcal {A}}=\iint _{D}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

On effectue le changement de variable en coordonnées cartésiennes-polaires (cf. plus haut), qui donne :

${\mathcal {A}}=\int _{0}^{R}\int _{-\pi }^{\pi }\left|{\frac {\mathrm {D} \left(x,y\right)}{\mathrm {D} \left(r,\theta \right)}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta$

Nous avons montré que ce jacobien valait r, donc :

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}&=\int _{-\pi }^{\pi }\int _{0}^{R}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {R^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta \\&=2\pi {\frac {R^{2}}{2}}\\&=\pi R^{2}.\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Développements limités

Le jacobien permet d'effectuer l'équivalent des développements limités pour les fonctions réelles à l’ordre un. On a en effet :

Début d’un théorème

Approximation linéaire

Soit f une fonction dont les dérivées partielles d'ordre un sont toutes définies. Soit M un point dans l’ensemble de définition de f. Alors on a, à l’ordre un, le développement limité suivant : $\mathbf {f} \left(\mathbf {X} \right)\approx \mathbf {f} \left(\mathbf {M} \right)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }\left(\mathbf {M} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {M} \right)$

Fin du théorème

On retrouve en quelque sorte l'interprétation « géométrique » que l’on avait pour la dérivée : la matrice jacobienne permet d'obtenir un objet « tangent » à la fonction.