Calcul différentiel/Jacobien

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Jacobien
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Chapitre no 3
Leçon : Calcul différentiel
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Calcul différentiel/Jacobien
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Le jacobien est une généralisation de la dérivée et du gradient pour les fonctions de plusieurs variables. Cette notion a de nombreuses applications, en mathématiques mais aussi en robotique et en biologie.

Gradient d'une fonctionModifier

 
La dérivée d'une fonction en un point donne l'équation de sa tangente.



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Jacobien et matrice jacobienneModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



PropriétésModifier

On peut interpréter le jacobien d'une application en termes de « modification » des volumes. Lors d'une transformation, un volume élémentaire sera multiplié par la valeur absolue du jacobien de la transformation. En particulier, un jacobien identiquement égal à 1 conserve les volumes. On note cela de la manière suivante :  .

Changement de variablesModifier

L'utilisation la plus courante du jacobien concerne le changement de variables dans les intégrales multiples.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Développements limitésModifier

Le jacobien permet d'effectuer l'équivalent des développements limités pour les fonctions réelles à l’ordre un. On a en effet :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On retrouve en quelque sorte l'interprétation « géométrique » que l’on avait pour la dérivée : la matrice jacobienne permet d'obtenir un objet « tangent » à la fonction.