Intégrale double/Intégration de fonctions positives

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Définition et premières propriétés

Définition

Soit $f:I\times J\to \mathbb {R} _{+}$ continue sur $P=I\times J$.

On dit que $f$ est intégrable sur $P$ si $K_{P}=\left\{\iint _{K}f\mid K{\text{ pavé compact }}\subset P\right\}$ est majoré, auquel cas :

$\iint \limits _{P}f=\sup K_{P}$.

Cette notion étend donc l'intégrale sur un pavé compact à un pavé quelconque, dans le cadre des fonctions positives (on peut procéder de même pour des fonctions négatives).

Une définition équivalente peut être apportée à l'aide d'une suite exhaustive de pavés compacts dans $I\times J$.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f:I\times J\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ continue, et $(K_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite exhaustive de pavés compacts dans $P=I\times J$. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est intégrable sur $I\times J$ ;
• la suite $\left(\iint _{K_{n}}f\right)$ est majorée ;
• la suite $\left(\iint _{K_{n}}f\right)$ est convergente.

Auquel cas $\lim _{n\to \infty }\iint _{K_{n}}f=\iint _{P}f$.

Fin du théorème

La propriété de linéarité (restreinte ici aux coefficients positifs) est, comme précédemment, vérifiée.

Dans le cadre de fonctions positives, on a aussi une propriété de comparaison :

$\forall f,g\in {\mathcal {C}}(P,\mathbb {R} )\quad (0\leq f\leq g\Rightarrow 0\leq \iint _{P}f\leq \iint _{P}g)$.

Théorème de Fubini-Tonelli

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f:I\times J\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ continue telle que pour tout $x\in I$, $f(x,\cdot )$ soit intégrable sur $J$ et $F:x\mapsto \int _{J}f(x,\cdot )$ soit continue par morceaux sur $I$. Alors :

$f$ intégrable sur $I\times J\Leftrightarrow F$ intégrable sur $J$,

auquel cas $\iint \limits _{I\times J}f=\int _{I}F$.

Fin du théorème