Intégrale double/Intégration sur un pavé compact
Définitions
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Dans la suite de cette leçon, on se restreindra au cas des intégrales doubles, donc des pavés d'intégration de .
La méthode est de remplacer la borne fixe par une variable et de montrer que les deux fonctions de obtenues coïncident sur tout l'intervalle (en particulier en ) parce qu'elles coïncident en et ont même dérivée.
Considérons donc ces deux fonctions (évidemment nulles en ) :
- ;
- .
est bien définie car la fonction est intégrable même continue sur , d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre ( est continue sur un pavé compact, donc on peut majorer par une constante, qui est intégrable sur ). De plus, d'après le théorème fondamental de l'analyse, est dérivable et sa dérivée est cette fonction continue :
- .
est bien définie car — à nouveau d'après le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — pour fixé, est continue sur (donc intégrable). De plus — à nouveau d'après le théorème fondamental de l'analyse — donc — d'après le théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre — est dérivable et
- ,
ce qui achève la preuve.
Sous les mêmes hypothèses qu'au théorème précédent, on appelle intégrale double de sur le pavé , et l'on note , la quantité commune :
- .
Dans le cadre numérique, l'intégrale double peut se voir comme le volume délimité par le pavé et la nappe des valeurs de la fonction sur ce pavé.
Propriétés
modifierL'intégrale double vérifie, comme l'intégrale simple, plusieurs propriétés élémentaires comme :
- la linéarité : ;
- l'inégalité triangulaire : .