Soit une fonction continue de dans . On lui associe la fonction définie sur par
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Devoir : Fonctions définies par une intégrale 2
Intégration en mathématiques/Devoir/Fonctions définies par une intégrale 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
— Ⅰ —
- .
1° Montrer que est dérivable et que (pour tout ) :
- .
2° Calculer dans les deux cas particuliers suivants :
- a) ;
- b) .
— Ⅱ —
Dans cette partie et la suivante, on étudie dans le cas où est l'application .
Le but est de dégager dans ce cas quelques propriétés de la fonction , que l'on ne cherchera pas à calculer.
1° Démontrer que est dérivable et que (pour tout ) :
- .
2° Déterminer les réels pour lesquels la fonction présente un extremum local.
- Déterminer les intervalles sur lesquels est :
- a) croissante ;
- b) décroissante.
3° Déterminer le signe de et le signe de . En déduire que admet un zéro sur l'intervalle .
4° À l'aide d'une intégration par parties, établir que (pour tout ) :
- et en déduire la limite de en .
5° Montrer que .
— Ⅲ —
Soit la fonction définie par :
1° Démontrer que (pour tout ) :
- .
2° En déduire que est dérivable en .
Corrigé
Ⅰ
- 1° La fonction a pour dérivée , et .
- Par conséquent, .
- 2°
- a) .
- b) .
Ⅱ
- 1° D'après Ⅰ-1, .
- 2° est strictement décroissante sur et, pour tout , sur ; elle est strictement croissante sur pour tout .
- Elle présente donc, pour tout , un extremum local en (minimum local si pair et maximum local si impair).
- 3° (car sur ) et (car sur ).
- D'après le théorème des valeurs intermédiaires, s'annule donc au moins une fois sur .
- 4° donc
- donc
- donc
- .
- 5° donc (pour tout ) .
Ⅲ
- 1° est compris entre et .
- 2° Par conséquent, .