Intégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes

Soit $f$ une primitive, sur $\mathbb {R}$, de l'application $\varphi$ qui, à tout réel $t$, associe :

— Ⅰ —

$\varphi (t)={\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}$.

1°  Soit $g$ l’application de l'intervalle $S=\left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[$ dans $\mathbb {R}$ définie par :

$g(u)=f\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)$.

Prouver que $g$ est dérivable sur $S$, puis que $g$ est une fonction affine.

2°  Montrer que :

${\frac {\pi }{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}$.

— Ⅱ —

On considère l'application $I$ de $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ définie par :

$I(p,q)=\int _{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\mathrm {d} t$.

1°  En majorant convenablement $t(1-t)$ pour $t\in [0,\,1]$, trouver la limite de la suite $\left(2^{n}I(n,n)\right)_{n\in \mathbb {N} }$.

2°  Montrer que :

$\forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p+1,q+1)={\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)$

(on pourra utiliser une intégration par parties) et en déduire que :

$\forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p,q)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}$.

— Ⅲ —

1°  Après avoir remarqué que :

$2t^{2}-2t+1=1-2t(1-t)$,

simplifier, pour $t\in \left]0,1\right[$, l'expression de

${\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}$.

2°  Quelle est la limite de la suite $w$ définie par :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad w_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}}$ ?

Corrigé

Ⅰ 1° $g$ est dérivable sur $S$ comme composée de $u\mapsto {\frac {1+\tan u}{2}}$, dérivable sur $S$ et de $f$, dérivable sur $\mathbb {R}$.

Pour tout $u\in S$, $g'(u)=f'\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)\times {\frac {\tan 'u}{2}}={\frac {1+\tan ^{2}u}{4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)^{2}-4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)+2}}=1$ donc

$g(u)=u+k$ pour une certaine constante $k\in \mathbb {R}$ (qui dépend du choix de la primitive $f$).

2° $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}=f(1)-f(0)=g\left({\frac {\pi }{4}}\right)-g\left({\frac {-\pi }{4}}\right)={\frac {\pi }{4}}+k-{\frac {-\pi }{4}}-k={\frac {\pi }{2}}$.

Ⅱ 1° Pour $t\in \left[0,1\right]$, $0\leq t(1-t)={\frac {1}{4}}-\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\leq {\frac {1}{4}}$ donc $0\leq I(n,n)\leq {\frac {1}{4^{n}}}$ donc $2^{n}I(n,n)\to 0$.

2° $I(p+1,q+1)=\underbrace {\left[{\frac {t^{p+2}}{p+2}}(1-t)^{q+1}\right]_{0}^{1}} _{=0}+{\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)$ et $I(p+q,0)={\frac {1}{p+q+1}}$ donc $I(p,q)={\frac {q}{p+1}}I(p+1,q-1)={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}I(p+2,q-2)=\dots ={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}\dots {\frac {1}{p+q}}I(p+q,0)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}$.

Ⅲ 1° Soit $s=2t(1-t)$. Alors,

${\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}={\frac {1}{1-s}}-{\frac {1-s^{n+1}}{1-s}}={\frac {s^{n+1}}{1-s}}={\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}$.

2° $w_{n}=\sum _{k=0}^{n}2^{k}I(k,k)=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-{\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}\right)\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}-J_{n+1}\to {\frac {\pi }{2}}$ car

$0\leq J_{n}:=2^{n}\int _{0}^{1}{\frac {t^{n}(1-t)^{n}}{2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}}}\,\mathrm {d} t\leq 2^{n+1}I(n,n)\to 0$.