Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?

Dans toute cette partie, $x$ désigne un nombre réel.

— Ⅰ —

Pour tout entier naturel $n$, on considère l'intégrale

$I_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t$.

1°  Calculer $I_{0}(x)$.

2°  En utilisant la formule d'intégration par parties, démontrer que :

$I_{n}(x)={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}+I_{n+1}(x)$.

3°  Démontrer par récurrence sur $n$ la formule :

$\mathrm {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+I_{n}(x)$.

— Ⅱ —

On pose :

$P_{n}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}$ ;

$Q_{n}=n!\left[aP_{n}(1)+b+cP_{n}(-1)\right]$ ;

$I_{n}=n!\,I_{n}(1)\quad {\text{et}}\quad J_{n}=(-1)^{n+1}n!\,I_{n}(-1)$.

1°  Pour $(a,b,c)\in \mathbb {Z} ^{3}$, on considère $H=a\operatorname {e} +b+c\operatorname {e} ^{-1}$.

a)  Démontrer que :

$n!\,H=Q_{n}+aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}$.

b)  Démontrer que :

$0\leqslant I_{n}\leqslant {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}\quad {\text{et}}\quad 0\leqslant J_{n}\leqslant {\frac {1}{n+1}}$.

En déduire la limite de $aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.

c)  Démontrer que le réel $Q_{n}-\left[a+(-1)^{n}c\right]$ est le produit de $n$ par un entier.

2°  En déduire que si $(a,c)\neq (0,0)$, alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $\left|Q_{n}\right|\geq 1$.

3°  a) Déduire des questions précédentes que $H$ ne peut être nul que si $a=b=c=0$.

b)  Démontrer que $\mathrm {e}$ ne peut pas être solution d'une équation de degré 1 ou 2 à coefficients dans $\mathbb {Q}$.

c)  Le nombre $\mathrm {e}$ est-il rationnel ?

Corrigé

— Ⅰ —

1°  $I_{0}(x)=\int _{0}^{x}\mathrm {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\mathrm {e} ^{x}-1$.

2°  $I_{n}(x)=\left[{\frac {-(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}\operatorname {e} ^{t}\right]_{0}^{x}+I_{n+1}(x)$.

3°  L'initialisation vient de la question 1 et l'hérédité de la question 2.

— Ⅱ —

1° a) D'après la fin de la partie Ⅰ, $H=a\left(P_{n}(1)+I_{n}(1)\right)+b+c\left(P_{n}(-1)+I_{n}(-1)\right)={\frac {Q_{n}+aI_{n}+c(-1)^{n+1}J_{n}}{n!}}$.

b)  $I_{n}=\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t$ est compris entre $\int _{0}^{1}0\,\mathrm {d} t=0$ et $\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\operatorname {e} ^{1}\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {e} }{n+1}}$.

$J_{n}=(-1)^{n+1}\int _{0}^{-1}(-1-t)^{n}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}(1-s)^{n}\operatorname {e} ^{-s}\,\mathrm {d} s$ est compris entre $\int _{0}^{1}0\,\mathrm {d} t=0$ et $\int _{0}^{1}(1-s)^{n}\operatorname {e} ^{0}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{n+1}}$.

$\left|aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}\right|\leqslant {\frac {|a|\mathrm {e} +|c|}{n+1}}\to 0$.

c)  $n!\,P_{n}(X)-X^{n}$ est le produit de $n$ par un polynôme à coefficients entiers donc $n!\,P_{n}(1)-1$ et $n!\,P_{n}(-1)-(-1)^{n}$ sont des multiples entiers de $n$, donc $Q_{n}-\left[a+(-1)^{n}c\right]$ aussi.

2°  Raisonnons par contraposition, en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers $n$ tels que $\left|Q_{n}\right|\geq 1$, c'est-à-dire qu'il existe un $n_{0}$ tel que $\forall n>n_{0}\quad Q_{n}=0$.

Alors, d'après la question précédente, $\forall n>n_{0}\quad n\mid a+(-1)^{n}c$, donc $a+c$ et $a-c$ sont nuls (car divisibles par des entiers arbitrairement grands), si bien que $a=c=0$.

3°  a)  Si $H=0$, alors (d'après Ⅱ - 1° a) $aI_{n}+(-1)^{n+1}cJ_{n}=-Q_{n}$ pour tout $n$ donc (d'après Ⅱ - 1° b) $\left|Q_{n}\right|<1$ pour tout $n$ suffisamment grand donc (d'après Ⅱ - 2°) $a=c=0$ donc $b=H=0$.

b)  Si $a\mathrm {e} ^{2}+b\mathrm {e} +c=0$ avec $a,b,c$ rationnels ou même (quitte à les multiplier par un dénominateur commun) entiers alors, d'après la sous-question précédente, $a=b=c=0$.

c)  Non, d'après la sous-question précédente.