Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calculs d'aires 3Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
x
2
4
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{4}}}
g
(
x
)
=
−
x
2
4
+
x
+
12
{\displaystyle g(x)=-{\frac {x^{2}}{4}}+x+12}
Solution
g
(
x
)
−
f
(
x
)
=
−
x
2
2
+
x
+
12
=
−
(
x
+
4
)
(
x
−
6
)
2
{\displaystyle g(x)-f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}+x+12=-{\frac {(x+4)(x-6)}{2}}}
∫
−
4
6
(
g
−
f
)
=
[
−
2
(
x
2
)
3
+
2
(
x
2
)
2
+
12
x
]
−
4
6
=
−
2
(
27
+
8
)
+
2
(
9
−
4
)
+
12
(
6
+
4
)
=
60
{\displaystyle \int _{-4}^{6}(g-f)=\left[-2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+12x\right]_{-4}^{6}=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60}
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x}
g
(
x
)
=
2
x
π
+
1
{\displaystyle g(x)={\frac {2x}{\pi }}+1}
Solution
∫
−
π
0
|
f
−
g
|
=
2
∫
−
π
/
2
0
(
f
−
g
)
=
2
[
sin
x
−
x
2
π
−
x
]
−
π
/
2
0
=
−
2
(
−
1
−
π
4
+
π
2
)
=
2
−
π
2
{\displaystyle \int _{-\pi }^{0}|f-g|=2\int _{-\pi /2}^{0}(f-g)=2\left[\sin x-{\frac {x^{2}}{\pi }}-x\right]_{-\pi /2}^{0}=-2\left(-1-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=2-{\frac {\pi }{2}}}
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
x
4
{\displaystyle f(x)=x^{4}}
g
(
x
)
=
x
4
{\displaystyle g(x)={\sqrt[{4}]{x}}}
Solution
∫
0
1
(
g
−
f
)
=
[
4
x
5
/
4
−
x
5
5
]
0
1
=
3
5
{\displaystyle \int _{0}^{1}(g-f)=\left[{\frac {4x^{5/4}-x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}}
Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
g
(
x
)
=
x
+
2
{\displaystyle g(x)=x+2}
Solution
g
(
x
)
−
f
(
x
)
=
−
(
x
−
2
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle g(x)-f(x)=-(x-2)(x+1)}
∫
−
1
2
(
g
−
f
)
=
[
−
x
3
3
+
x
2
2
+
2
x
]
−
1
2
=
9
2
{\displaystyle \int _{-1}^{2}(g-f)=\left[-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x\right]_{-1}^{2}={\frac {9}{2}}}
On considère la fonction
f
a
,
b
:=
a
sin
+
b
sin
3
{\displaystyle f_{a,b}:=a\sin +b\sin ^{3}}
1° Calculer
f
a
,
b
′
{\displaystyle f_{a,b}'}
f
a
,
b
″
{\displaystyle f_{a,b}''}
2° En déduire l'expression générale des primitives de la fonction
f
a
,
b
{\displaystyle f_{a,b}}
3° Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative
C
{\displaystyle C}
A
(
π
/
2
,
0
)
{\displaystyle A\left(\pi /2,0\right)}
0
{\displaystyle 0}
f
{\displaystyle f}
4° Étudier la variation de
f
{\displaystyle f}
(
O
,
i
→
,
j
→
)
{\displaystyle (O,\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}
5° Calculer l’aire comprise entre la courbe
C
{\displaystyle C}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
π
/
2
{\displaystyle x=\pi /2}
cm ).
Solution
f
a
,
b
′
=
a
cos
+
3
b
sin
2
cos
=
(
a
+
3
b
)
cos
−
3
b
cos
3
{\displaystyle f_{a,b}'=a\cos +3b\sin ^{2}\cos =(a+3b)\cos -3b\cos ^{3}}
f
a
,
b
″
=
−
(
a
+
3
b
)
sin
+
9
b
cos
2
sin
=
(
6
b
−
a
)
sin
−
9
b
sin
3
=
f
6
b
−
a
,
−
9
b
{\displaystyle f_{a,b}''=-(a+3b)\sin +9b\cos ^{2}\sin =(6b-a)\sin -9b\sin ^{3}=f_{6b-a,-9b}}
D'après la question précédente, une primitive de
f
a
,
b
{\displaystyle f_{a,b}}
c
cos
+
d
cos
3
+
k
{\displaystyle c\cos +d\cos ^{3}+k}
c
,
d
{\displaystyle c,d}
a
=
−
3
d
−
c
{\displaystyle a=-3d-c}
b
=
3
d
{\displaystyle b=3d}
d
=
b
/
3
{\displaystyle d=b/3}
c
=
−
a
−
b
{\displaystyle c=-a-b}
f
a
,
b
{\displaystyle f_{a,b}}
−
(
a
+
b
)
cos
+
(
b
/
3
)
cos
3
+
k
{\displaystyle -(a+b)\cos +(b/3)\cos ^{3}+k}
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
(
0
=
f
a
,
b
(
π
/
2
)
=
a
+
b
et
1
=
f
a
,
b
′
(
0
)
=
a
)
⇔
(
a
,
b
)
=
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle \left(0=f_{a,b}(\pi /2)=a+b\quad {\text{et}}\quad 1=f'_{a,b}(0)=a\right)\Leftrightarrow (a,b)=(1,-1)}
f
=
sin
−
sin
3
=
sin
cos
2
{\displaystyle f=\sin -\sin ^{3}=\sin \cos ^{2}}
f
{\displaystyle f}
f
(
π
−
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}
[
0
,
π
/
2
]
{\displaystyle \left[0,\pi /2\right]}
arcsin
(
1
/
3
)
{\displaystyle \arcsin(1/{\sqrt {3}})}
f
(
0
)
=
f
(
π
/
2
)
=
0
{\displaystyle f(0)=f(\pi /2)=0}
[
−
cos
3
/
3
]
0
π
2
=
{\displaystyle \left[-\cos ^{3}/3\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=}
2 .
1° Soit
f
a
{\displaystyle f_{a}}
f
a
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
x
2
+
a
x
+
1
{\displaystyle f_{a}(x)={\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+ax+1}}}
où
a
{\displaystyle a}
Pour quelles valeurs de
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction. 2° Construire la courbe
C
0
{\displaystyle C_{0}}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
Démontrer que la courbe
C
0
{\displaystyle C_{0}}
A
{\displaystyle A}
f
0
(
x
)
{\displaystyle f_{0}(x)}
f
0
(
x
)
=
1
+
2
x
x
2
+
1
{\displaystyle f_{0}(x)=1+{\frac {2x}{x^{2}+1}}}
Déterminer la tangente en
A
{\displaystyle A}
3° Soit
M
{\displaystyle M}
C
0
{\displaystyle C_{0}}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc
A
M
⌢
{\displaystyle {\overset {\displaystyle \frown }{AM}}}
C
0
{\displaystyle C_{0}}
Solution
a
2
−
4
<
0
⇔
a
∈
]
−
2
,
2
[
{\displaystyle a^{2}-4<0\Leftrightarrow a\in \left]-2,2\right[}
f
′
(
x
)
=
(
2
−
a
)
(
1
−
x
2
)
(
x
2
+
a
x
+
1
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {(2-a)(1-x^{2})}{(x^{2}+ax+1)^{2}}}}
f
{\displaystyle f}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \left[-1,1\right]}
]
−
∞
,
−
1
]
{\displaystyle \left]-\infty ,-1\right]}
[
1
,
+
∞
[
{\displaystyle \left[1,+\infty \right[}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
1
{\displaystyle 1}
f
(
−
1
)
=
0
{\displaystyle f(-1)=0}
f
(
1
)
=
4
2
+
a
{\displaystyle f(1)={\frac {4}{2+a}}}
Le tableau de variation est ː
C
0
{\displaystyle C_{0}}
C
0
{\displaystyle C_{0}}
A
(
0
,
1
)
{\displaystyle A(0,1)}
x
↦
f
0
−
1
{\displaystyle x\mapsto f_{0}-1}
y
=
2
x
+
1
{\displaystyle y=2x+1}
M
{\displaystyle M}
(
1
,
2
)
{\displaystyle (1,2)}
(
A
M
)
{\displaystyle (AM)}
y
=
1
+
x
{\displaystyle y=1+x}
∫
0
1
(
f
0
(
x
)
−
1
−
x
)
d
x
=
∫
0
1
(
2
x
x
2
+
1
−
x
)
d
x
=
[
ln
(
x
2
+
1
)
−
x
2
2
]
0
1
=
ln
2
−
1
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(f_{0}(x)-1-x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {2x}{x^{2}+1}}-x\right)\,\mathrm {d} x=\left[\ln \left(x^{2}+1\right)-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=\ln 2-{\frac {1}{2}}}
1° Déterminer toutes les racines du polynôme
2
x
3
+
x
2
−
3
{\displaystyle 2x^{3}+x^{2}-3}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
2° Étudier la fonction
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
x
3
+
x
2
+
3
x
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}+3}{x}}}
et en construire la courbe représentative
C
{\displaystyle C}
3° Préciser la position de la courbe
C
{\displaystyle C}
P
{\displaystyle P}
y
=
x
2
+
x
{\displaystyle y=x^{2}+x}
4° Calculer, en fonction de
a
(
a
>
1
)
{\displaystyle a\quad (a>1)}
C
{\displaystyle C}
P
{\displaystyle P}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
5° Déterminer
a
{\displaystyle a}
0
,
01
{\displaystyle 0{,}01}
1
{\displaystyle 1}
Solution
2
x
3
+
x
2
−
3
x
−
1
=
2
x
2
+
3
x
+
3
>
0
{\displaystyle {\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x-1}}=2x^{2}+3x+3>0}
f
{\displaystyle f}
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
f
′
(
x
)
=
2
x
3
+
x
2
−
3
x
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x^{2}}}}
x
−
1
{\displaystyle x-1}
f
{\displaystyle f}
]
−
∞
,
0
[
{\displaystyle \left]-\infty ,0\right[}
]
0
,
1
]
{\displaystyle \left]0,1\right]}
[
1
,
+
∞
[
{\displaystyle \left[1,+\infty \right[}
lim
−
∞
f
=
lim
+
∞
f
=
lim
0
+
f
=
+
∞
,
lim
0
−
f
=
−
∞
,
f
(
1
)
=
5
{\displaystyle \lim _{-\infty }f=\lim _{+\infty }f=\lim _{0^{+}}f=+\infty ,\,\lim _{0^{-}}f=-\infty ,\,f(1)=5}
C
{\displaystyle C}
f
(
x
)
−
(
x
2
+
x
)
=
3
x
{\displaystyle f(x)-\left(x^{2}+x\right)={\frac {3}{x}}}
C
{\displaystyle C}
P
{\displaystyle P}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
P
{\displaystyle P}
C
{\displaystyle C}
3
∫
1
a
d
x
x
=
3
ln
a
{\displaystyle 3\int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=3\ln a}
a
=
e
3
≈
1
,
40
{\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\mathrm {e} }}\approx 1{,}40}
Quelle est l'aire de la surface comprise entre les courbes d'équations
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}}
y
=
2
−
x
{\displaystyle y=2-x}
−
3
≤
x
≤
2
{\displaystyle -3\leq x\leq 2}
Solution
x
2
−
(
2
−
x
)
=
x
2
+
x
−
2
=
(
x
−
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle x^{2}-(2-x)=x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)}
donc
∫
−
3
2
|
x
2
−
(
2
−
x
)
|
d
x
=
∫
−
3
−
2
(
x
2
+
x
−
2
)
d
x
−
∫
−
2
1
(
x
2
+
x
−
2
)
d
x
+
∫
1
2
(
x
2
+
x
−
2
)
d
x
=
[
x
3
3
+
x
2
2
−
2
x
]
−
3
−
2
−
[
x
3
3
+
x
2
2
−
2
x
]
−
2
1
+
[
x
3
3
+
x
2
2
−
2
x
]
1
2
=
11
6
+
9
2
+
11
6
=
31
6
{\displaystyle \int _{-3}^{2}\left|x^{2}-(2-x)\right|\,\mathrm {d} x=\int _{-3}^{-2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x-\int _{-2}^{1}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-3}^{-2}-\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-2}^{1}+\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{1}^{2}={\frac {11}{6}}+{\frac {9}{2}}+{\frac {11}{6}}={\frac {31}{6}}}
![{\displaystyle \int _{-4}^{6}(g-f)=\left[-2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+12x\right]_{-4}^{6}=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbc8d836080551e82e6c9576c5129a4d70e22e5)
![{\displaystyle \int _{-\pi }^{0}|f-g|=2\int _{-\pi /2}^{0}(f-g)=2\left[\sin x-{\frac {x^{2}}{\pi }}-x\right]_{-\pi /2}^{0}=-2\left(-1-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=2-{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6c0b3dc11192f458730cf024f0cdbbd6e30f47)
![{\displaystyle g(x)={\sqrt[{4}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3d235f1cbc0872a4586cc3dd31561994d7a17c)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}(g-f)=\left[{\frac {4x^{5/4}-x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee73870caf44cc2abae0482cccc1d7332b526d27)
![{\displaystyle \int _{-1}^{2}(g-f)=\left[-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x\right]_{-1}^{2}={\frac {9}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760e02427f1cb061fb1e21cc67eb8379fc18a076)
![{\displaystyle \left[0,\pi /2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cc5d5d43d0681db709db9a3fa43af6ba079a6f)
![{\displaystyle \left[-\cos ^{3}/3\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14ae059f0fec3ad2fb99d1ec41e2b3fd6371958)
![{\displaystyle a^{2}-4<0\Leftrightarrow a\in \left]-2,2\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0308e8ec5e8eb3b680ce7ea7a469e7e2883b1eba)
![{\displaystyle \left[-1,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79566f857ac1fcd0ef0f62226298a4ed15b796ad)
![{\displaystyle \left]-\infty ,-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be7fae2278a8ec8948f983874759124880c1018)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left(f_{0}(x)-1-x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {2x}{x^{2}+1}}-x\right)\,\mathrm {d} x=\left[\ln \left(x^{2}+1\right)-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=\ln 2-{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c035a36a5c70510f3401d7e2cd3c08601532f84e)
![{\displaystyle \left]-\infty ,0\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d10c3a4dbadb446d3509e7d7f25654de172d94be)
![{\displaystyle \left]0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091455b6e9ffc33569e2fd6f11ca6e7a4dc074f4)
![{\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\mathrm {e} }}\approx 1{,}40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cd53b99164ecd9c1d1aad6261e5c602f1aecf3)
![{\displaystyle \int _{-3}^{2}\left|x^{2}-(2-x)\right|\,\mathrm {d} x=\int _{-3}^{-2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x-\int _{-2}^{1}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-3}^{-2}-\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-2}^{1}+\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{1}^{2}={\frac {11}{6}}+{\frac {9}{2}}+{\frac {11}{6}}={\frac {31}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0d76bfea2281aa6ead2a05b2d7dc2812328a12)
