Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects
Exercice 16-1 modifier
Soient et les intégrales suivantes :
- .
Calculer simultanément et .
donc
- .
Exercice 16-2 modifier
Calculer simultanément les intégrales suivantes :
- .
et
donc
et
- .
Exercice 16-3 modifier
On considère les intégrales :
où et sont des entiers naturels non nuls.
Calculer et . En déduire et .
.
- Si , donc .
- Si , donc .
Exercice 16-4 modifier
Soit une fonction dérivable.
1° On pose . Calculer .
2° Calculer :
- .
- .
- Pour , soit . Alors, pour , donc d'après la question précédente,
.
Exercice 16-5 modifier
On considère les deux intégrales suivantes :
.
1° À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à et à , établir deux relations entre et . En déduire les valeurs de et de .
2° On pose :
- .
- Calculer et . En déduire les valeurs de de et de .
-
- ;
- .
- donc ;
- donc .
-
- ;
- .
- ;
- .
Exercice 16-6 modifier
Calculer :
- .
En déduire, par une intégration par parties :
- .
.
.
Exercice 16-7 modifier
1° Soit une fonction dérivable sur un intervalle . Donner, en fonction de et de , l'expression de la dérivée de la fonction définie sur par .
2° Démontrer qu'il existe un couple de réels tel que, quel que soit , on ait :
- .
- En déduire qu'il existe une fonction telle que :
- .
3° Quel est l'ensemble des primitives de la fonction lorsque ?
- donc .
- , .
- est la dérivée de donc les primitives de sont les fonctions de la forme , avec .