Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects

Calculs indirects
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Exercices no16
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Intégrales 7
Exo suiv. :Suites d'intégrales 1
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Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects
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Exercice 16-1

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Soient   et   les intégrales suivantes :

 .

Calculer simultanément   et  .

Exercice 16-2

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Calculer simultanément les intégrales suivantes :

 
 .

Exercice 16-3

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On considère les intégrales :

 
 

  et   sont des entiers naturels non nuls.

Calculer   et  . En déduire   et  .

Exercice 16-4

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Soit   une fonction dérivable.

 On pose  . Calculer  .

 Calculer :

 .

Exercice 16-5

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On considère les deux intégrales suivantes :

 .

 À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à   et à  , établir deux relations entre   et  . En déduire les valeurs de   et de  .

 On pose :

 .
Calculer   et  . En déduire les valeurs de de   et de  .

Exercice 16-6

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Calculer :

 .

En déduire, par une intégration par parties :

 .

Exercice 16-7

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 Soit   une fonction dérivable sur un intervalle  . Donner, en fonction de   et de  , l'expression de la dérivée de la fonction   définie sur   par  .

 Démontrer qu'il existe un couple   de réels tel que, quel que soit  , on ait :

 .
En déduire qu'il existe une fonction   telle que :
 .

 Quel est l'ensemble des primitives de la fonction   lorsque   ?