Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1

Exercice 17-1

On pose :

$I_{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\sin \pi t\,\mathrm {d} t\qquad (n\in \mathbb {N} ^{*})$.

1°  Démontrer que :

$\forall n\qquad 0<I_{n}<\int _{0}^{1}t^{n}\,\mathrm {d} t$.

2°  Démontrer que :

$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}t^{n}\ \mathrm {d} t=0$.

3°  En déduire que :

$\lim _{n\to \infty }I_{n}=0$.

Solution

1. Sur $\left]0,1/2\right[$ et $\left]1/2,1\right[$, $t\mapsto t^{n}\sin \pi t$ est continue et $0<t^{n}\sin \pi t<t^{n}$.
2. $\int _{0}^{1}t^{n}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{n+1}}$.
3. Théorème des gendarmes.

 

Exercice 17-2

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $t\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, on pose :

$I_{n}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{2n+1}x}}$.

1°  Prouver qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ :

${\frac {1}{\cos x}}=\left({\frac {a}{1-\sin x}}+{\frac {b}{1+\sin x}}\right)\cos x$.

En déduire le calcul de $I_{0}(t)$.

2°  Démontrer que :

$2nI_{n}(t)=(2n-1)I_{n-1}(t)+{\frac {\sin t}{\cos ^{2n}t}}$.

3°  En déduire $I_{1}(t)$, $I_{2}(t)$ et $I_{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)$.

Solution

1°  ${\frac {1}{\cos ^{2}}}={\frac {a\left(1+\sin \right)+b\left(1-\sin \right)}{1-\sin ^{2}}}\Leftrightarrow a=b={\frac {1}{2}}$, donc

${\begin{aligned}I_{0}(t)&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{\cos }}={\frac {1}{2}}\left[\ln {\frac {1+s}{1-s}}\right]_{0}^{\sin t}\\&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin t}{1-\sin t}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(1+\sin t)^{2}}{\cos ^{2}t}}=\ln {\frac {1+\sin t}{\cos t}}.\end{aligned}}$

Voir aussi Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile#Exercice 2-10.

2°

${\begin{aligned}I_{n}(t)&=\int _{0}^{t}{\frac {\tan '}{\cos ^{2n-1}}}=\left[{\frac {\tan }{\cos ^{2n-1}}}\right]_{0}^{t}-(2n-1)\int _{0}^{t}{\frac {\tan \times \sin }{\cos ^{2n}}}\\&={\frac {\sin t}{\cos ^{2n}t}}-(2n-1)\int _{0}^{t}{\frac {\sin ^{2}}{\cos ^{2n+1}}}\\&={\frac {\sin t}{\cos ^{2n}t}}-(2n-1)\left(I_{n}(t)-I_{n-1}(t)\right),\end{aligned}}$

d'où la formule de récurrence annoncée.

3°  $I_{1}(t)={\frac {1}{2}}\left(I_{0}(t)+{\frac {\sin t}{\cos ^{2}t}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\sin t}{\cos ^{2}t}}+\ln {\frac {1+\sin t}{\cos t}}\right)$.

$I_{2}(t)={\frac {1}{4}}\left(3I_{1}(t)+{\frac {\sin t}{\cos ^{4}t}}\right)={\frac {\sin t}{4\cos ^{4}t}}+{\frac {3\sin t}{8\cos ^{2}t}}+{\frac {3}{8}}\ln {\frac {1+\sin t}{\cos t}}$.

$I_{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {3{\sqrt {2}}}{8}}+{\frac {3}{8}}\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)={\frac {7{\sqrt {2}}+3\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)}{8}}$.

 

Exercice 17-3

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x)={\frac {1}{x(x+1)}}$.

1°  Trouver deux entiers relatifs $a$ et $x$ tels que :

$f(x)={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x+1}}$.

En déduire, pour $x$ appartenant à $\left]0,+\infty \right[$, la valeur de :

$F(x):=\int _{1}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

2°  On considère la suite $s$ définie, pour $n$ entier naturel non nul, par :

$s(n)=F(1)+F(2)+\cdots +F(n)$.

Cette suite admet-elle une limite quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Solution

1. $a=1$ et $b=-1$ donc $F(x)=\left[\ln \left({\frac {t}{t+1}}\right)\right]_{1}^{x}=\ln \left({\frac {2x}{x+1}}\right)$.
2. $s(n)=\ln \left({\frac {2^{n}\,n!}{(n+1)!}}\right)=\ln \left({\frac {2^{n}}{n+1}}\right)\to +\infty$.

 

Exercice 17-4

Pour $n\in \mathbb {N}$, soit :

$I_{n}=\int _{0}^{x}\cos ^{n}$ ;

$J_{n}=\int _{0}^{x}\sin ^{n}$.

1°  Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur à $2$, on a :

$nI_{n}=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}$ ;

$nJ_{n}=-\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)J_{n-2}$.

2°  Calculer $I_{2}$, $J_{2}$, $I_{5}$ et $J_{3}$.

3°  Peut-on, lorsque $n$ est impair, calculer $I_{n}$ et $J_{n}$ à l'aide d'un changement de variable simple ?

Solution

1. Ces deux équations (pour $n\geq 2$) résultent de :
   • $I_{n}=\left[\cos ^{n-1}\sin \right]_{0}^{x}+(n-1)\int _{0}^{x}\cos ^{n-2}\sin ^{2}=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\left(I_{n-2}-I_{n}\right)$ ;
   • $J_{n}=-\left[\sin ^{n-1}\cos \right]_{0}^{x}+(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}\cos ^{2}=-\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)\left(J_{n-2}-J_{n}\right)$.
2. • $I_{0}=J_{0}=x$, $2I_{2}=\cos x\sin x+I_{0}$ et $2J_{2}=-\sin x\cos x+J_{0}$ donc

   $I_{2}={\frac {x+\cos x\sin x}{2}}$ et $J_{2}={\frac {x-\cos x\sin x}{2}}$.

   • Pour $J_{3}$ et $I_{5}$, cf. question suivante.
3. • $I_{2m+1}=\int _{0}^{x}\left(1-\sin ^{2}\right)^{m}\sin '=\int _{0}^{\sin x}\left(1-u^{2}\right)^{m}\,\mathrm {d} u=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}\sin ^{2k+1}x}{2k+1}}$ ;
   • $J_{2m+1}=-\int _{0}^{x}\left(1-\cos ^{2}\right)^{m}\cos '=-\int _{0}^{\cos x}\left(1-u^{2}\right)^{m}\,\mathrm {d} u=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k+1}\cos ^{2k+1}x}{2k+1}}$.

 

Exercice 17-5

On considère la fonction $f$ définie, pour $x$ réel positif, par :

$f(x)=x[x-E(x)]$,

où $E$ désigne la fonction partie entière.

1°  Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de $f$ pour $x$ élément de $\left[0,3\right[$.

2°  Soit $k$ un entier naturel. Donner l'expression de $f(x)$ pour $x$ élément de $\left[k,k+1\right[$, puis calculer $u_{k}:=\int _{k}^{k+1}f$.

En déduire que $(u_{n})$ est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

3°  Pour $n\in \mathbb {N}$, calculer $\int _{0}^{n}f$.

Solution

1. Le graphique de f pour $x\in \left[0,3\right[$ est
   
2. • Si $k\leq x<k+1$, $f(x)=x(x-k)$.
   • $u_{k}={\frac {(k+1)^{3}-k^{3}}{3}}-k{\frac {(k+1)^{2}-k^{2}}{2}}={\frac {k}{2}}+{\frac {1}{3}}$.
   • Autrement dit : $(u_{n})$ est la suite arithmétique de raison ${\frac {1}{2}}$ et de premier terme ${\frac {1}{3}}$.
3. $\int _{0}^{n}f$ est égale à la somme des $n$ premiers termes de cette suite arithmétique, c'est-à-dire à ${\frac {n}{2}}(u_{0}+u_{n-1})={\frac {n}{3}}+{\frac {n(n-1)}{4}}$.

 

Exercice 17-6

Soit :

$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}\qquad (n\in \mathbb {N} )$.

1°  Justifier l'existence de $I_{n}$. Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.

2°  Établir une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n-2}$. En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$.

3°  On pose :

$v_{p}=\left({\frac {2\times 4\times \cdots \times (2p)}{3\times 5\times \cdots \times (2p-1)}}\right)^{2}{\frac {1}{2p+1}}$.

Démontrer que $v_{p}$ est une valeur approchée par défaut de ${\frac {\pi }{2}}$, avec :

${\frac {\pi }{2}}-v_{p}<{\frac {v_{p}}{2p}}$.

Solution

1. La fonction $\sin ^{n}$ est continue. $I_{0}={\frac {\pi }{2}}$ et $I_{1}=1$.
2. Pour $n\geq 2$, $I_{n}=-\left[\sin ^{n-1}\cos \right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}\cos ^{2}=0+(n-1)\left(I_{n-2}-I_{n}\right)$ donc $I_{n}={\frac {n-1}{n}}I_{n-2}$.
   Par conséquent,
   • $I_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}{\frac {2p-3}{2p-2}}\dots {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{2}}={\frac {3\times 5\times \cdots \times (2p-1)}{2\times 4\times \cdots \times 2p}}{\frac {\pi }{2}}$ et
   • $I_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}{\frac {2p-2}{2p-1}}\dots {\frac {2}{3}}={\frac {2\times 4\times \cdots \times 2p}{3\times 5\times \cdots \times (2p+1)}}$.
3. Puisque $v_{p}={\frac {I_{2p+1}}{I_{2p}/{\frac {\pi }{2}}}}$, il s'agit de montrer que ${\frac {2p}{2p+1}}<{\frac {I_{2p}}{I_{2p-1}}}<1$. Plus généralement, on déduit les deux inégalités ${\frac {n+1}{n+2}}<{\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}<1$ de la décroissance de la suite $(I_{n})$ et de plus, pour la première, de la relation de récurrence : voir Équivalents et développements de suites : intégrales de Wallis.

 

Exercice 17-7

Pour $n\in \mathbb {N}$ on pose : $I_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\ln(1+x)\;\mathrm {d} x$.

1. Calculer $I_{0}$.
2. Montrer que la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est positive et décroissante (donc convergente).
3. 1. Montrer que pour tous $n\in \mathbb {N}$ et $x\in [0,1]$ on a : $x^{n}\ln(1+x)\leq x^{n}$.
   2. En déduire que pour tout $n\in \mathbb {N}$ on a $I_{n}\leq {\frac {1}{n+1}}$.
   3. Calculer la limite de la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.
4. 1. En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$ on a

      $I_{n}={\frac {\ln 2}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+1}}{1+x}}\;\mathrm {d} x$.

   2. Étudier la convergence de la suite $(nI_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Solution

1. $I_{0}=\int _{0}^{1}\ln(1+x)\;\mathrm {d} x=\int _{1}^{2}\ln =[y\ln y-y]_{1}^{2}=2\ln 2-1$.
2. La positivité est immédiate et la décroissance vient du fait que pour tout $x\in [0,1]$, $\ln(1+x)\geq 0$ et la suite $(x^{n})$ est décroissante.
   1. $\ln 2<1$.
   2. $I_{n}\leq \int _{0}^{1}x^{n}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n+1}}$.
   3. D'après le théorème des gendarmes, $I_{n}\to 0$.
3. 1. $I_{n}=\left[{\frac {x^{n+1}}{n+1}}\ln(1+x)\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+1}}{(n+1)(1+x)}}\;\mathrm {d} x={\frac {\ln 2}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+1}}{1+x}}\;\mathrm {d} x$.
   2. $\int _{0}^{1}{\frac {x^{n+1}}{1+x}}\;\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}x^{n+1}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n+2}}$ donc d'après la question précédente, $nI_{n}\to \ln 2$.

 

Exercice 17-8

Soit $I_{n}=\int _{0}^{\pi /4}\tan ^{n}x\,\mathrm {d} x$ pour $n\in \mathbb {N}$.

1. Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$.
2. Trouver une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
3. En déduire $I_{2p}$ et $I_{2p+1}$ pour $p\in \mathbb {N}$.

Solution

1. $I_{0}=\pi /4$, $I_{1}=\int _{0}^{\pi /4}R(\sin x,\cos x)\,\mathrm {d} x$ avec $R(u,v)={u \over v}$, vérifiant à la fois $R(-u,v)=-R(u,v)$, $R(u,-v)=-R(u,v)$ et (donc) $R(-u,-v)$. On a donc le choix de prendre comme nouvelle variable $\cos x$, $\sin x$ ou $\tan x$ (ou $\cot x$). Le plus simple semble $v=\cos x$ : ainsi, $\mathrm {d} v=-\sin x\,\mathrm {d} x$ donc $I_{1}=\int _{1}^{1/{\sqrt {2}}}{-\mathrm {d} v \over v}=\ln({\sqrt {2}})={\ln 2 \over 2}$.
2. $I_{n}+I_{n-2}=\int _{0}^{\pi /4}\tan ^{n-2}x\left(1+\tan ^{2}x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}y^{n-2}\,\mathrm {d} y={1 \over n-1}$.
3. $I_{2p}=(-1)^{p}\left({\pi \over 4}-\sum _{k=0}^{p-1}{(-1)^{k} \over 2k+1}\right)$, $I_{2p+1}=(-1)^{p}\left({\ln 2 \over 2}-\sum _{k=1}^{p}{(-1)^{k} \over 2k}\right)$.