Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1

Suites d'intégrales 1
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Exercices no17
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Calculs indirects
Exo suiv. :Suites d'intégrales 2
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Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1
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Exercice 17-1

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On pose :

 .

 Démontrer que :

 .

 Démontrer que :

 .

 En déduire que :

 .

Exercice 17-2

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Pour tout entier naturel   et tout réel  , on pose :

 .

 Prouver qu'il existe des réels   et   tels que, pour tout   de   :

 .
En déduire le calcul de  .

 Démontrer que :

 .

 En déduire  ,   et  .

Exercice 17-3

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Soit   la fonction numérique de la variable réelle   définie par :

 .

 Trouver deux entiers relatifs   et   tels que :

 .
En déduire, pour   appartenant à  , la valeur de :
 .

 On considère la suite   définie, pour   entier naturel non nul, par :

 .
Cette suite admet-elle une limite quand   tend vers   ?

Exercice 17-4

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Pour  , soit :

  ;
 .

 Démontrer que, pour tout entier   supérieur à  , on a :

  ;
 .

 Calculer  ,  ,   et  .

 Peut-on, lorsque   est impair, calculer   et   à l'aide d'un changement de variable simple ?

Exercice 17-5

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On considère la fonction   définie, pour   réel positif, par :

 ,

  désigne la fonction partie entière.

 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de   pour   élément de  .

 Soit   un entier naturel. Donner l'expression de   pour   élément de  , puis calculer  .

En déduire que   est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

 Pour  , calculer  .

Exercice 17-6

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Soit :

 .

 Justifier l'existence de  . Calculer   et  .

 Établir une relation de récurrence entre   et  . En déduire l'expression de   en fonction de  .

 On pose :

 .
Démontrer que   est une valeur approchée par défaut de  , avec :
 .

Exercice 17-7

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Pour   on pose :  .

  1. Calculer  .
  2. Montrer que la suite   est positive et décroissante (donc convergente).
    1. Montrer que pour tous   et   on a :  .
    2. En déduire que pour tout   on a  .
    3. Calculer la limite de la suite  .
    1. En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout   on a
       .
    2. Étudier la convergence de la suite  .

Exercice 17-8

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Soit   pour  .

  1. Calculer   et  .
  2. Trouver une relation de récurrence entre   et   pour  .
  3. En déduire   et   pour  .